Theory arithmetic

⊢ ∀n m. ABS_DIFF n m = if n < m then m − n else n − m

⊢ (∀n. 0 + n = n) ∧ ∀m n. SUC m + n = SUC (m + n)

⊢ ZERO = 0

⊢ ∀n. BIT1 n = n + (n + SUC 0)

⊢ ∀n. BIT2 n = n + (n + SUC (SUC 0))

⊢ ∀n. DIV2 n = n DIV 2

⊢ DIVMOD =
  WFREC (measure (FST ∘ SND))
    (λf (a,m,n).
         if n = 0 then (0,0)
         else if m < n then (a,m)
         else (let q = findq (1,m,n) in f (a + q,m − n * q,n)))

⊢ ∀m n. m DIV n = if n = 0 then 0 else OT_DIV m n

⊢ (EVEN 0 ⇔ T) ∧ ∀n. EVEN (SUC n) ⇔ ¬EVEN n

⊢ (∀m. m ** 0 = 1) ∧ ∀m n. m ** SUC n = m * m ** n

⊢ FACT 0 = 1 ∧ ∀n. FACT (SUC n) = SUC n * FACT n

⊢ (∀f x. FUNPOW f 0 x = x) ∧ ∀f n x. FUNPOW f (SUC n) x = FUNPOW f n (f x)

⊢ ∀m n. m > n ⇔ n < m

⊢ ∀m n. m ≥ n ⇔ m > n ∨ m = n

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n

⊢ ∀m n. MAX m n = if m < n then n else m

⊢ ∀m n. MIN m n = if m < n then m else n

⊢ ∀n m1 m2. MODEQ n m1 m2 ⇔ ∃a b. a * n + m1 = b * n + m2

⊢ ∀m n. m MOD n = if n = 0 then m else OT_MOD m n

⊢ (∀n. 0 * n = 0) ∧ ∀m n. SUC m * n = m * n + n

⊢ (∀R x y. NRC R 0 x y ⇔ x = y) ∧
  ∀R n x y. NRC R (SUC n) x y ⇔ ∃z. R x z ∧ NRC R n z y

⊢ ∀x. NUMERAL x = x

⊢ (ODD 0 ⇔ F) ∧ ∀n. ODD (SUC n) ⇔ ¬ODD n

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀k. k = OT_DIV k n * n + OT_MOD k n ∧ OT_MOD k n < n

⊢ (∀m. 0 − m = 0) ∧ ∀m n. SUC m − n = if m < n then 0 else SUC (m − n)

⊢ ∀b. bool_to_bit b = if b then 1 else 0

⊢ findq =
  WFREC (measure (λ(a,m,n). m − n))
    (λf (a,m,n).
         if n = 0 then a
         else (let d = 2 * n in if m < d then a else f (2 * a,m,d)))

⊢ ∀n. &n = n

⊢ ∀n m p. ABS_DIFF (n + p) (m + p) = ABS_DIFF n m

⊢ ∀n m. ABS_DIFF n m = ABS_DIFF m n

⊢ ∀n. ABS_DIFF n n = 0

⊢ ∀n m. ABS_DIFF n m = 0 ⇔ n = m

⊢ ABS_DIFF x z ≤ x + z

⊢ ∀x z y. ABS_DIFF x (y + z) ≤ y + ABS_DIFF x z

⊢ ∀n m. ABS_DIFF (SUC n) (SUC m) = ABS_DIFF n m

⊢ ∀x z. ABS_DIFF x (SUC z) ≤ SUC (ABS_DIFF x z)

⊢ ∀n1 n2 m1 m2.
    ABS_DIFF (n1 + n2) (m1 + m2) ≤ ABS_DIFF n1 m1 + ABS_DIFF n2 m2

⊢ ∀n m. ABS_DIFF n m = ABS_DIFF m n

⊢ ∀x y z. ABS_DIFF x z ≤ ABS_DIFF x y + ABS_DIFF y z

⊢ ∀x y. x ≤ ABS_DIFF x y + y

⊢ ∀n. ABS_DIFF n 0 = n ∧ ABS_DIFF 0 n = n

⊢ ∀m. SUC m = m + 1

⊢ ∀m. m + 0 = m

⊢ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊢ 0 + m = m ∧ m + 0 = m ∧ SUC m + n = SUC (m + n) ∧ m + SUC n = SUC (m + n)

⊢ ∀m n. m + n = n + m

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀x r. (x * n + r) DIV n = x + r DIV n

⊢ ∀n. 0 < n ⇒
      ∀m p. m MOD n = 0 ∨ p MOD n = 0 ⇒ (m + p) DIV n = m DIV n + p DIV n

⊢ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊢ ∀m n. m + n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 0 ∨ m = 0 ∧ n = 1

⊢ ∀m n p. n ≤ p ⇒ (m + n = p ⇔ m = p − n)

⊢ ∀m n. m + n = m ⇒ n = 0

⊢ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0

⊢ ∀n a b p. 0 < n ⇒ ((a + p) MOD n = (b + p) MOD n ⇔ a MOD n = b MOD n)

⊢ (∀n x. (x + n) MOD n = x MOD n) ∧ ∀n x. (n + x) MOD n = x MOD n

⊢ ∀n x. (x + n) MOD n = x MOD n

⊢ ∀n x. (n + x) MOD n = x MOD n

⊢ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊢ ∀a c. a + c − c = a

⊢ ∀m n. m + n − m = n

⊢ ∀m n. SUC (m + n) = m + SUC n

⊢ ∀m n. m + n = n + m

⊢ ∀c. 0 < c ⇒ ((∃n. n < c ∧ P n) ⇔ P (c − 1) ∨ ∃n. n < c − 1 ∧ P n)

⊢ ∀c. 0 < c ⇒ ((∀n. n < c ⇒ P n) ⇔ P (c − 1) ∧ ∀n. n < c − 1 ⇒ P n)

⊢ ∀p n m. p ≤ n ∧ p ≤ m ⇒ (n − p = m − p ⇔ n = m)

⊢ ∀k. 0 < k ⇒ ∀n. n \\ k = n DIV k + MIN (n MOD k) 1

⊢ ∀k m n. 0 < k ⇒ (n \\ k ≤ m ⇔ n ≤ m * k)

⊢ ∀k. 0 < k ⇒ ∀n. n = k * (n \\ k) − n %% k ∧ n %% k < k

⊢ ∀m n. m \\ n = (m + (n − 1)) DIV n

⊢ ∀m n. m %% n = (n − m MOD n) MOD n

⊢ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n

⊢ ∀k n. 0 < n ⇒ ∃r q. k = q * n + r ∧ r < n

⊢ ∀n. DIV2 (2 * n) = n

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀k. k = k DIV n * n + k MOD n ∧ k MOD n < n

⊢ (∀m n. 0 < n ⇒ m DIV n = FST (DIVMOD (0,m,n))) ∧
  ∀m n. 0 < n ⇒ m MOD n = SND (DIVMOD (0,m,n))

⊢ ∀m n a. 0 < n ⇒ DIVMOD (a,m,n) = (a + m DIV n,m MOD n)

⊢ ∀P m n.
    0 < n ⇒ (P (m DIV n) (m MOD n) ⇔ ∀q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ P q r)

⊢ ∀P m n.
    0 < n ⇒ (P (m DIV n) (m MOD n) ⇔ ∃q r. m = q * n + r ∧ r < n ∧ P q r)

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ n DIV n = 1 ∧ n MOD n = 0

⊢ DIVMOD (a,m,n) =
  if n = 0 then (0,0)
  else if m < n then (a,m)
  else (let q = findq (1,m,n) in DIVMOD (a + q,m − n * q,n))

⊢ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m DIV n = q ∧ m MOD n = r

⊢ k DIV 0 = 0 ∧ 0 DIV n = 0

⊢ ∀b n. 1 < b ∧ n DIV b = 0 ⇒ n < b

⊢ ∀q. q DIV 1 = q

⊢ ∀m n. 0 < m ∧ 0 < n ⇒ ∀x. x DIV m DIV n = x DIV (m * n)

⊢ 1 < b ⇒ (n DIV b = 0 ⇔ n < b)

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (y DIV z = x ⇔ x * z ≤ y ∧ y < SUC x * z)

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ n DIV n = 1

⊢ ∀n d. 0 < n ∧ 1 < d ⇒ n DIV d < n

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀k. k DIV n ≤ k

⊢ ∀n x y. 0 < n ∧ x ≤ y ⇒ x DIV n ≤ y DIV n

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (y DIV z ≤ x ⇔ y < (x + 1) * z)

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (y DIV z < x ⇔ y < x * z)

⊢ ∀m n k. 0 < n ∧ 0 < k ⇒ m DIV n MOD k = m MOD (n * k) DIV n

⊢ ∀n r. r < n ⇒ ∀q. (q * n + r) DIV n = q

⊢ NUMERAL (BIT1 n) * x DIV NUMERAL (BIT1 n) = x ∧
  NUMERAL (BIT2 n) * x DIV NUMERAL (BIT2 n) = x ∧
  (NUMERAL (BIT1 n) * x + y) DIV NUMERAL (BIT1 n) =
  x + y DIV NUMERAL (BIT1 n) ∧
  (NUMERAL (BIT2 n) * x + y) DIV NUMERAL (BIT2 n) =
  x + y DIV NUMERAL (BIT2 n) ∧
  (y + NUMERAL (BIT1 n) * x) DIV NUMERAL (BIT1 n) =
  x + y DIV NUMERAL (BIT1 n) ∧
  (y + NUMERAL (BIT2 n) * x) DIV NUMERAL (BIT2 n) =
  x + y DIV NUMERAL (BIT2 n)

⊢ ∀q. q DIV SUC 0 = q

⊢ ∀P p q. 0 < q ⇒ (P (p DIV q) ⇔ ∃k r. p = k * q + r ∧ r < q ∧ P k)

⊢ ∀P m n. 0 < n ⇒ (P (m DIV n) ⇔ ∀q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ P q)

⊢ 0 < n ∧ n * q ≤ m ⇒ (m − n * q) DIV n = m DIV n − q

⊢ ∀n k q. (∃r. k = q * n + r ∧ r < n) ⇒ k DIV n = q

⊢ ∀p q. 2 * p + 1 < 2 * q ⇔ p < q

⊢ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p

⊢ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n

⊢ ∀m n. m = n ⇔ m ≤ n ∧ n ≤ m

⊢ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n

⊢ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊢ ∀m n p. n * m = p * m ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊢ ∀m n. EVEN (m + n) ⇔ (EVEN m ⇔ EVEN n)

⊢ ∀n. ¬(EVEN n ∧ ODD n)

⊢ ∀n. ¬EVEN n ⇒ SUC n DIV 2 = SUC ((n − 1) DIV 2)

⊢ ∀n. EVEN (2 * n)

⊢ ∀n. EVEN n ⇔ ∃m. n = 2 * m

⊢ ∀m n. 0 < n ∧ EVEN m ⇒ EVEN (m ** n)

⊢ ∀n m. EVEN (m ** n) ⇔ 0 < n ∧ EVEN m

⊢ ∀x. EVEN x ⇔ x MOD 2 = 0

⊢ ∀m n. EVEN (m * n) ⇔ EVEN m ∨ EVEN n

⊢ ∀n. EVEN n ⇔ ¬ODD n

⊢ ∀n. (EVEN n ⇒ ∃m. n = 2 * m) ∧ (ODD n ⇒ ∃m. n = SUC (2 * m))

⊢ ∀n. EVEN n ∨ ODD n

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇒ (EVEN (n − m) ⇔ (EVEN n ⇔ EVEN m))

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃x. ∀y. y > x ⇒ ¬P y) ⇔ ∃x. P x ∧ ∀y. y > x ⇒ ¬P y

⊢ ∀P. (∃n. P n) ⇔ P 0 ∨ ∃m. P (SUC m)

⊢ ∀m. m ** 0 = 1

⊢ ∀m n. n DIV 2 < 2 ** m ⇔ n < 2 ** SUC m

⊢ ∀n. n ** 0 = 1

⊢ ∀n. 1 ** n = 1 ∧ n ** 1 = n

⊢ ∀n. n² = n * n

⊢ ∀p q n. n ** (p + q) = n ** p * n ** q

⊢ ∀b. 1 < b ⇒ ∀n. ∃m. n ≤ b ** m

⊢ ∀b. 1 < b ⇒ ∀n m. b ** n = b ** m ⇔ n = m

⊢ ∀n m b. 0 < b ∧ m ≤ n ⇒ b ** m ≤ b ** n

⊢ m ≤ n ⇒ SUC b ** m ≤ SUC b ** n

⊢ b ** m ≤ b ** n ⇔ b = 0 ∧ n = 0 ∨ b = 0 ∧ 0 < m ∨ b = 1 ∨ 1 < b ∧ m ≤ n

⊢ ∀b. 1 < b ⇒ ∀n m. b ** m ≤ b ** n ⇔ m ≤ n

⊢ ∀b. 1 < b ⇒ ∀n m. b ** m < b ** n ⇔ m < n

⊢ ∀z x y. (x * y) ** z = x ** z * y ** z

⊢ ∀n m. n ** m = 0 ⇔ n = 0 ∧ 0 < m

⊢ ∀n m. n ** m = 1 ⇔ n = 1 ∨ m = 0

⊢ ∀n m. n ** m = n ⇔ m = 1 ∨ n = 0 ∧ 0 < m ∨ n = 1

⊢ ∀b1 b2 x. b1 ** x = b2 ** x ⇔ x = 0 ∨ b1 = b2

⊢ ∀a b. a ** n ≤ b ** n ⇔ a ≤ b ∨ n = 0

⊢ ∀a b. a ** n < b ** n ⇔ a < b ∧ 0 < n

⊢ ∀z x y. x ** (y * z) = (x ** y) ** z

⊢ x ** y ≤ 1 ⇔ x ≤ 1 ∨ y = 0

⊢ m ** n < 1 ⇔ m = 0 ∧ 0 < n

⊢ (x MOD n) ** e MOD n = x ** e MOD n

⊢ ∀m n. m ≠ 0 ⇒ m ** n ≠ 0

⊢ ∀m n. 0 < m ⇒ 0 < m ** n

⊢ ∀p q n. 0 < n ∧ q ≤ p ⇒ n ** (p − q) = n ** p DIV n ** q

⊢ 0 < n ⇒
  n ** NUMERAL (BIT1 x) DIV n = n ** (NUMERAL (BIT1 x) − 1) ∧
  n ** NUMERAL (BIT2 x) DIV n = n ** NUMERAL (BIT1 x)

⊢ ∀n. 1 ≤ FACT n

⊢ ∀n. 0 < FACT n

⊢ ∀f. f = FACT ⇔ f 0 = 1 ∧ ∀n. f (SUC n) = SUC n * f n

⊢ ∀P. (∀n. P n) ⇔ P 0 ∧ ∀n. P (SUC n)

⊢ (∀n. P n) ⇔ P 0 ∧ ∀n. P n ⇒ P (SUC n)

⊢ FUNPOW f 0 x = x

⊢ FUNPOW f 1 x = f x

⊢ ∀f x. FUNPOW f 2 x = f (f x)

⊢ ∀m n. FUNPOW f (m + n) x = FUNPOW f m (FUNPOW f n x)

⊢ ∀f m n x. FUNPOW f m (FUNPOW f n x) = FUNPOW f n (FUNPOW f m x)

⊢ ∀n x f g.
    (∀m. m < n ⇒ f (FUNPOW f m x) = g (FUNPOW f m x)) ⇒
    FUNPOW f n x = FUNPOW g n x

⊢ ∀n x c. FUNPOW (K c) n x = if n = 0 then x else c

⊢ ∀f n x. FUNPOW f (SUC n) x = f (FUNPOW f n x)

⊢ ∀m x. P x ∧ (∀x. P x ⇒ P (f x)) ⇒ P (FUNPOW f m x)

⊢ ∀m x.
    P x ∧ (∀n. n < m ⇒ R (FUNPOW f n x)) ∧ (∀x. P x ∧ R x ⇒ P (f x)) ⇒
    P (FUNPOW f m x)

⊢ ∀n m. n ≥ m ⇔ m ≤ n

⊢ ∀n m. n ≥ m ⇔ m ≤ n

⊢ ∀m n. 0 < m ∧ 0 < n ⇒ (PRE m = PRE n ⇔ m = n)

⊢ ∀m. 0 < m ⇒ ∀n. PRE m < PRE n ⇔ m < n

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀m. PRE m ≤ PRE n ⇔ m ≤ n

⊢ (∀n. n ≤ 0 ⇔ n = 0) ∧ ∀m n. m ≤ SUC n ⇔ m = SUC n ∨ m ≤ n

⊢ ∀m n p. p * (m + n) = p * m + p * n

⊢ ∀m n p. p * (m − n) = p * m − p * n

⊢ ∀m. 0 = m ∨ 0 < m

⊢ ∀m n. n < m ⇒ ∃p. p + n = m

⊢ ∀m n. n < m ⇒ ∃p. m = n + (p + 1)

⊢ ∀m n. n ≠ 0 ⇒ m < m + n

⊢ ∀m n. m < m + SUC n

⊢ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < m)

⊢ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m

⊢ ∀m n. ¬(m < n) ∧ m ≠ n ⇒ n < m

⊢ ∀r n. r < n ⇒ r DIV n = 0

⊢ ∀m n. m < n ⇔ SUC m ≤ n

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇒ ∃p. n = m + p

⊢ ∀n m. n ≤ m ∧ m ≤ n ⇒ n = m

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇒ ∃k. m = n − k

⊢ ∀n. n ≤ 0 ⇔ n = 0

⊢ ∀m n. m ≤ m + n

⊢ ∀m n. n ≤ m ⇒ ∃p. p + n = m

⊢ ∀c b. c ≤ b ⇒ ∀a. a + b − c = a + (b − c)

⊢ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)

⊢ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃p. n = m + p

⊢ ∀n m. n ≤ m ⇔ n < SUC m

⊢ ∀n m. n ≤ m ⇒ n < SUC m

⊢ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q

⊢ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊢ ∀n m. SUC n ≤ SUC m ⇔ n ≤ m

⊢ ∀m n p. m + p ≤ n + p ⇔ m ≤ n

⊢ ∀m. m ≤ m

⊢ ∀a b. b ≤ a ⇒ ∀c. a − b < c ⇔ a < b + c

⊢ ∀m. m ≤ SUC m

⊢ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊢ ∀n m. SUC (SUC m) ** n < SUC (SUC m) ** SUC n

⊢ ∀n m. n < m ⇒ ∀p. n < m + p

⊢ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊢ ∀m n. m = n ∨ m < n ∨ n < m

⊢ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊢ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < SUC m)

⊢ ∀n k. k < n ⇒ k MOD n = k

⊢ ∀m n p. m < n ⇒ m + p < n + p

⊢ ∀m n p. m + p < n + p ⇔ m < n

⊢ ∀m n p. m + p < n + p ⇒ m < n

⊢ ∀m n. SUC m < SUC n ⇔ m < n

⊢ ∀m n p. m ≤ n ⇒ m * p ≤ n * p

⊢ ∀m n i j. m ≤ i ∧ n ≤ j ⇒ m * n ≤ i * j

⊢ ∀m n. SUC m < SUC n ⇒ m < n

⊢ ∀m n. 0 < m ∧ 0 < n ⇒ 0 < m * n

⊢ ∀m i n. SUC n * m < SUC n * i ⇔ m < i

⊢ ∀m n. m < n ∧ n ≠ SUC m ⇒ SUC m < n

⊢ ∀m n. m < n ⇒ SUC m ≤ n

⊢ ∀n m. n < m ∨ ∃p. n = p + m

⊢ $<= = (λx y. y = SUC x)꙳

⊢ ∀m n. n < m ⇒ ∃p. SUC p + n = m

⊢ ∀n m i. i < n − m ⇒ i + m < n

⊢ ∀m n. m < n ∧ SUC m ≠ n ⇒ SUC m < n

⊢ ∀m n. m < n ⇒ ¬(n < SUC m)

⊢ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊢ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)

⊢ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊢ ∀n. 0 ≤ n

⊢ ∀m n. m ≤ m + n

⊢ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊢ ∀m n p. n + m ≤ p + m ⇔ n ≤ p

⊢ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊢ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃p. n = m + p

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n

⊢ ∀x y. x ≤ y ⇔ x < y + 1

⊢ (m ≤ m * n ⇔ m = 0 ∨ 0 < n) ∧ (m ≤ n * m ⇔ m = 0 ∨ 0 < n)

⊢ (m * n ≤ m ⇔ m = 0 ∨ n ≤ 1) ∧ (m * n ≤ n ⇔ n = 0 ∨ m ≤ 1)

⊢ ∀k. 0 < k ⇒ ∀n. n ≤ k * (n \\ k)

⊢ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊢ ∀m n p. m * n ≤ p * n ⇔ n = 0 ∨ m ≤ p

⊢ ∀m. m ≤ m

⊢ ∀z y x. x − y ≤ x − z ⇔ z ≤ y ∨ x ≤ y

⊢ ∀m n p. n − m ≤ p − m ⇔ n ≤ m ∨ n ≤ p

⊢ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊢ (∀m. m < 0 ⇔ F) ∧ ∀m n. m < SUC n ⇔ m = n ∨ m < n

⊢ x < 1 ⇔ x = 0

⊢ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)

⊢ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m

⊢ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊢ ∀m n p. p + m < p + n ⇔ m < n

⊢ ∀m n p. m + p < n + p ⇔ m < n

⊢ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n

⊢ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + SUC d

⊢ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊢ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ m ≠ n

⊢ (m < m * n ⇔ 0 < m ∧ 1 < n) ∧ (m < n * m ⇔ 0 < m ∧ 1 < n)

⊢ (m * n < m ⇔ 0 < m ∧ n = 0) ∧ (m * n < n ⇔ 0 < n ∧ m = 0)

⊢ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ 0 < m ∧ n < p

⊢ ∀m n p. m * n < p * n ⇔ 0 < n ∧ m < p

⊢ ∀z y x. x − y < x − z ⇔ z < y ∧ z < x

⊢ ∀m n p. n − m < p − m ⇔ n < p ∧ m < p

⊢ n < SUC m ⇔ n = 0 ∨ ∃n0. n = SUC n0 ∧ n0 < m

⊢ ∀m n. m < SUC n ⇔ m ≤ n

⊢ ∀n. MAX n 0 = n ∧ MAX 0 n = n

⊢ ∀m n. MAX m n = if m ≤ n then n else m

⊢ ∀m n p. MAX m (MAX n p) = MAX (MAX m n) p

⊢ ∀m n. MAX n m = n ∨ MAX n m = m

⊢ ∀m n. MAX m n = MAX n m

⊢ MAX m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊢ (b ≤ a ⇒ MAX a b = a) ∧ (a ≤ b ⇒ MAX a b = b)

⊢ ∀n. MAX n n = n

⊢ ∀n m p. (p ≤ MAX m n ⇔ p ≤ m ∨ p ≤ n) ∧ (MAX m n ≤ p ⇔ m ≤ p ∧ n ≤ p)

⊢ ∀n m p. (p < MAX m n ⇔ p < m ∨ p < n) ∧ (MAX m n < p ⇔ m < p ∧ n < p)

⊢ ∀n. MIN n 0 = 0 ∧ MIN 0 n = 0

⊢ ∀m n. MIN m n = if m ≤ n then m else n

⊢ ∀m n p. MIN m (MIN n p) = MIN (MIN m n) p

⊢ ∀m n. MIN n m = n ∨ MIN n m = m

⊢ ∀m n. MIN m n = MIN n m

⊢ MIN m n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊢ (a ≤ b ⇒ MIN a b = a) ∧ (b ≤ a ⇒ MIN a b = b)

⊢ ∀n. MIN n n = n

⊢ ∀n m p. (MIN m n ≤ p ⇔ m ≤ p ∨ n ≤ p) ∧ (p ≤ MIN m n ⇔ p ≤ m ∧ p ≤ n)

⊢ ∀n m p. (MIN m n < p ⇔ m < p ∨ n < p) ∧ (p < MIN m n ⇔ p < m ∧ p < n)

⊢ ∀m n. MIN m n = MAX m n ⇔ m = n

⊢ ∀m n. MIN m n ≤ MAX m n

⊢ ∀m n. MIN m n < MAX m n ⇔ m ≠ n

⊢ ∀P m n. P m ∧ P n ⇒ P (MIN m n) ∧ P (MAX m n)

⊢ 0 < n ⇒ MODEQ n n 0

⊢ MODEQ 0 m1 m2 ⇔ m1 = m2

⊢ MODEQ n x y ⇒ MODEQ n (x ** e) (y ** e)

⊢ 0 < n ⇒ MODEQ n e0 e1 ⇒ e0 MOD n = e1 MOD n

⊢ 0 < n ⇒ MODEQ n (x MOD n) x

⊢ MODEQ n x0 x1 ⇒ MODEQ n y0 y1 ⇒ MODEQ n (x0 * y0) (x1 * y1)

⊢ 0 < n ⇒ (MODEQ n m1 m2 ⇔ m1 MOD n = m2 MOD n)

⊢ (NUMERAL n ≤ NUMERAL m ⇒
   MODEQ (NUMERAL (BIT1 n)) (NUMERAL (BIT1 m))
     (NUMERAL (BIT1 m) MOD NUMERAL (BIT1 n))) ∧
  (NUMERAL n ≤ NUMERAL m ⇒
   MODEQ (NUMERAL (BIT1 n)) (NUMERAL (BIT2 m))
     (NUMERAL (BIT2 m) MOD NUMERAL (BIT1 n))) ∧
  (NUMERAL n ≤ NUMERAL m ⇒
   MODEQ (NUMERAL (BIT2 n)) (NUMERAL (BIT2 m))
     (NUMERAL (BIT2 m) MOD NUMERAL (BIT2 n))) ∧
  (NUMERAL n < NUMERAL m ⇒
   MODEQ (NUMERAL (BIT2 n)) (NUMERAL (BIT1 m))
     (NUMERAL (BIT1 m) MOD NUMERAL (BIT2 n)))

⊢ MODEQ n x0 x1 ⇒ MODEQ n y0 y1 ⇒ MODEQ n (x0 + y0) (x1 + y1)

⊢ ∀x. MODEQ n x x

⊢ MODEQ n x y ⇒ MODEQ n (SUC x) (SUC y)

⊢ MODEQ n x y ⇔ MODEQ n y x

⊢ MODEQ n m1 m2 ⇔ n = 0 ∧ m1 = m2 ∨ 0 < n ∧ m1 MOD n = m2 MOD n

⊢ ∀x y z. MODEQ n x y ∧ MODEQ n y z ⇒ MODEQ n x z

⊢ k MOD 0 = k ∧ 0 MOD n = 0

⊢ ∀k. k MOD 1 = 0

⊢ ∀n. n MOD 2 = if EVEN n then 0 else 1

⊢ ∀n x y z.
    0 < n ∧ x < n ∧ y < n ∧ z < n ⇒
    ((x + y) MOD n + z) MOD n = (x + (y + z) MOD n) MOD n

⊢ ∀n x. 0 < n ∧ x < n ⇒ ((n − x) MOD n + x) MOD n = 0

⊢ ∀n p q. 0 < n ∧ 0 < q ⇒ n * (p MOD q) = n * p MOD (n * q)

⊢ 0 < y ⇒ x MOD y DIV y = 0

⊢ ∀P x n. 0 < n ∧ P x ∧ (∀y. P (y + n) ⇒ P y) ⇒ P (x MOD n)

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀a b. a MOD n = b ⇔ ∃c. a = c * n + b ∧ b < n

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀k. k * n MOD n = 0

⊢ 0 < n ⇒ (k MOD n = 0 ⇔ ∃d. k = d * n)

⊢ ∀m n. n < m ⇒ (n MOD m = 0 ⇔ n = 0)

⊢ ∀n a m. (a MOD n) ** m MOD n = a ** m MOD n

⊢ ∀n. n MOD n = 0

⊢ ∀m n. 0 < n ⇒ m MOD n < n

⊢ 0 < y ⇒ x MOD y ≤ x

⊢ 0 < n ∧ k < n − x MOD n ⇒ (x + k) MOD n = x MOD n + k

⊢ 0 < n ⇒ ((x + k) MOD n = x MOD n + k ⇔ k < n − x MOD n)

⊢ ∀n k. k MOD n MOD n = k MOD n

⊢ 0 < y ∧ y ≤ z ⇒ x MOD y MOD z = x MOD y

⊢ ∀n r. r < n ⇒ ∀q. (q * n + r) MOD n = r

⊢ ∀n k. 0 < n ∧ k MOD n = 0 ⇒ ∀x. k * x MOD n = 0

⊢ ∀n x y z.
    0 < n ∧ x < n ∧ y < n ∧ z < n ⇒
    x * y MOD n * z MOD n = x * (y * z MOD n) MOD n

⊢ ∀m n. 0 < n ∧ 0 < m ⇒ ∀x. x MOD (n * m) MOD n = x MOD n

⊢ ∀k. k MOD SUC 0 = 0

⊢ ∀P p q. 0 < q ⇒ (P (p MOD q) ⇔ ∃k r. p = k * q + r ∧ r < q ∧ P r)

⊢ ∀n j k. (j MOD n + k MOD n) MOD n = (j + k) MOD n

⊢ ∀n. 0 < n ⇒
      ∀x y z. (x + y + z) MOD n = (x MOD n + y MOD n + z MOD n) MOD n

⊢ ∀P m n. 0 < n ⇒ (P (m MOD n) ⇔ ∀q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ P r)

⊢ 0 < n ∧ n * q ≤ m ⇒ (m − n * q) MOD n = m MOD n

⊢ 0 < y ∧ SUC x ≠ SUC (x DIV y) * y ⇒ SUC x MOD y = SUC (x MOD y)

⊢ 0 < y ⇒ (SUC x MOD y = SUC (x MOD y) ⇔ SUC x ≠ SUC (x DIV y) * y)

⊢ ∀n q r. (q * n + r) MOD n = r MOD n

⊢ ∀n j k. j MOD n * (k MOD n) MOD n = j * k MOD n

⊢ ∀n q r. 0 < n ∧ 0 < q ∧ r ≤ n ⇒ (q * n − r) MOD n = (n − r) MOD n

⊢ ∀n k r. (∃q. k = q * n + r ∧ r < n) ⇒ k MOD n = r

⊢ ∀m. m * 0 = 0

⊢ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p

⊢ ∀m n p. m * (n * p) = m * p * n

⊢ ∀m n.
    0 * m = 0 ∧ m * 0 = 0 ∧ 1 * m = m ∧ m * 1 = m ∧ SUC m * n = m * n + n ∧
    m * SUC n = m + m * n

⊢ ∀m n. m * n = n * m

⊢ ∀m n p. m * (n * p) = n * (m * p)

⊢ ∀n q. 0 < n ⇒ q * n DIV n = q

⊢ ∀n. 2 * n DIV 2 = n

⊢ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊢ ∀x y. x * y = 1 ⇔ x = 1 ∧ y = 1

⊢ 0 < x ⇒ (x * y = z ⇔ y = z DIV x ∧ z MOD x = 0)

⊢ ∀m n. (m * n = n ⇔ m = 1 ∨ n = 0) ∧ (n * m = n ⇔ m = 1 ∨ n = 0)

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀m. n * m = n ⇔ m = 1

⊢ ∀p q n m. n * SUC q ** p = m * SUC q ** p ⇔ n = m

⊢ ∀m n. 1 < m ∧ 0 < n ⇒ SUC n ≤ m * n

⊢ ∀m. 1 * m = m

⊢ ∀m n p. p * n = p * m ⇔ p = 0 ∨ n = m

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀m. m * n = n ⇔ m = 1

⊢ ∀m n p. m ≤ n ⇔ SUC p * m ≤ SUC p * n

⊢ ∀m i n. SUC n * m = SUC n * i ⇔ m = i

⊢ ∀m n. 0 < m ∧ 0 < n ⇒ 0 < m * n

⊢ ∀m. m * 1 = m

⊢ ∀m n p. n * p = m * p ⇔ p = 0 ∨ n = m

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ ∀m. n * m = n ⇔ m = 1

⊢ ∀m n. m * SUC n = m + m * n

⊢ ∀p m n. n * SUC p = m * SUC p ⇔ n = m

⊢ ∀m n. m * n = n * m

⊢ ∀m n. 0 < n ⇒ n * m DIV n = m

⊢ 0 = 0

⊢ ∀m n. SUC n ** m ≠ 0

⊢ ∀m n. ¬(m > n) ⇔ m ≤ n

⊢ ∀m n. ¬(m ≥ n) ⇔ SUC m ≤ n

⊢ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊢ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ SUC n ≤ m

⊢ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊢ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊢ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊢ ∀n. ¬(0 < n) ⇔ n = 0

⊢ ∀m n. m ≠ n ⇔ SUC m ≤ n ∨ SUC n ≤ m

⊢ ∀n m. SUC (n + n) ≠ m + m

⊢ ∀f. ¬∀n. f (SUC n) < f n

⊢ ∀m n. ¬(SUC (m + n) ≤ m)

⊢ ∀n m. ¬(SUC n ≤ m) ⇔ m ≤ n

⊢ ∀n. ¬(SUC n ≤ 0)

⊢ ∀n. n ≠ 0 ⇔ 0 < n

⊢ ∀n. n ≠ 0 ⇔ 0 < n

⊢ ∀R x y. NRC R 0 x y ⇔ x = y

⊢ NRC R 1 x y ⇔ R x y

⊢ ∀m n x z. NRC R (m + n) x z ⇒ ∃y. NRC R m x y ∧ NRC R n y z

⊢ NRC R (m + n) x z ⇔ ∃y. NRC R m x y ∧ NRC R n y z

⊢ ∀m n x y z. NRC R m x y ∧ NRC R n y z ⇒ NRC R (m + n) x z

⊢ ∀n x y. NRC R n x y ⇒ R꙳ x y

⊢ NRC R (SUC n) x y ⇔ ∃z. NRC R n x z ∧ R z y

⊢ (NUMERAL (BIT1 x) * y = NUMERAL z ⇔
   y = NUMERAL z DIV NUMERAL (BIT1 x) ∧ NUMERAL z MOD NUMERAL (BIT1 x) = 0) ∧
  (NUMERAL (BIT2 x) * y = NUMERAL z ⇔
   y = NUMERAL z DIV NUMERAL (BIT2 x) ∧ NUMERAL z MOD NUMERAL (BIT2 x) = 0)

⊢ ∀p q n. n ** (p + q) = n ** p * n ** q

⊢ ∀m n. ODD (m + n) ⇔ (ODD m ⇎ ODD n)

⊢ ∀n. ODD (SUC (2 * n))

⊢ ∀n. ODD n ⇔ ¬EVEN n

⊢ ∀n. ODD n ⇔ ∃m. n = SUC (2 * m)

⊢ ∀m n. 0 < n ∧ ODD m ⇒ ODD (m ** n)

⊢ ∀n m. ODD (m ** n) ⇔ n = 0 ∨ ODD m

⊢ ∀m n. ODD (m * n) ⇔ ODD m ∧ ODD n

⊢ ∀n. ∃m. n = SUC (SUC 0) * m ∨ n = SUC (SUC 0) * m + 1

⊢ ∀n. ODD n ⇒ 0 < n

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇒ (ODD (n − m) ⇔ (ODD n ⇎ ODD m))

⊢ (ODD (bool_to_bit b) ⇔ b) ∧ (ODD (1 − bool_to_bit b) ⇔ ¬b)

⊢ 1 = SUC 0

⊢ 1 ≤ x ** y ⇔ 0 < x ∨ y = 0

⊢ ∀x y. 1 < x ** y ⇔ 1 < x ∧ 0 < y

⊢ ∀x y. 1 < x * y ⇔ 0 < x ∧ 1 < y ∨ 0 < y ∧ 1 < x

⊢ ∀p q. 1 < p ∧ 0 < q ⇒ 1 < p * q

⊢ 1 < n ⇒ 1 MOD n = 1

⊢ 1 < n ⇔ 0 < n ∧ 1 MOD n = 1

⊢ ONE_ONE f ⇒ ∀b. ∃a. ∀x. f x ≤ b ⇒ x ≤ a

⊢ ∀f. ONE_ONE f ⇒ ∀b. ∃n. b < f n

⊢ ∀m n. SUC m ≤ n ⇒ m < n

⊢ P (PRE n) ⇔ ∀m. (n = 0 ⇒ P 0) ∧ (n = SUC m ⇒ P m)

⊢ P (PRE n) ⇔ ∀m. n = SUC m ∨ m = 0 ∧ n = 0 ⇒ P m

⊢ P (PRE n) ⇔ ∃m. (n = SUC m ∨ m = 0 ∧ n = 0) ∧ P m

⊢ ∀n. m ≤ n ⇒ PRE m ≤ PRE n

⊢ ∀m n. PRE (m − n) = PRE m − n

⊢ ∀m. PRE m = m − 1

⊢ ∀m n. 0 < n ⇒ (m = PRE n ⇔ SUC m = n)

⊢ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

⊢ ∀m n p. (m − n) * p = m * p − n * p

⊢ ∀x y. R꙳ x y ⇒ ∃n. NRC R n x y

⊢ ∀R x y. R꙳ x y ⇔ ∃n. NRC R n x y

⊢ ∀f. (∀n. f n < f (SUC n)) ⇒ ONE_ONE f

⊢ ∀f. (∀n. f n < f (SUC n)) ⇒ ∀m n. m < n ⇒ f m < f n

⊢ ∀f. (∀n. f n < f (SUC n)) ⇒ ∀b. ∃n. b < f n

⊢ ∀m. 0 − m = 0 ∧ m − 0 = m

⊢ ∀m n. n ≤ m ⇒ m − n + n = m

⊢ ∀p n m. n ≤ p ∧ m ≤ p ⇒ (p − n = p − m ⇔ n = m)

⊢ P (a − b) ⇔ ∀d. (b = a + d ⇒ P 0) ∧ (a = b + d ⇒ P d)

⊢ P (a − b) ⇔ ∀d. a = b + d ∨ a < b ∧ d = 0 ⇒ P d

⊢ P (a − b) ⇔ (∃d. b = a + d ∧ P 0) ∨ ∃d. a = b + d ∧ P d

⊢ P (a − b) ⇔ ∃d. (a = b + d ∨ a < b ∧ d = 0) ∧ P d

⊢ ∀c. c − c = 0

⊢ ∀m n. m − n = 0 ⇔ m ≤ n

⊢ ∀m n. m − n = m ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊢ ∀m n p. m + (n − p) = if n ≤ p then m else m + n − p

⊢ ∀m n p. m = n − p ⇔ m + p = n ∨ m ≤ 0 ∧ n ≤ p

⊢ ∀m n p. m > n − p ⇔ m + p > n ∧ m > 0

⊢ ∀m n p. m ≥ n − p ⇔ m + p ≥ n

⊢ ∀m n p. m < n − p ⇔ m + p < n

⊢ ∀m n p. m ≤ n − p ⇔ m + p ≤ n ∨ m ≤ 0

⊢ ∀m n p. m − (n − p) = if n ≤ p then m else m + p − n

⊢ ∀m n. SUC (m − n) = if m ≤ n then SUC 0 else SUC m − n

⊢ ∀m n. 0 < n ∧ n ≤ m ⇒ m − n < m

⊢ ∀n m. m < n ⇔ 0 < n − m

⊢ ∀n m. n − m ≤ n

⊢ ∀m p. m ≤ p ⇒ ∀n. p − m ≤ n ⇔ p ≤ m + n

⊢ ∀m n. n < m ⇒ n ≤ m − 1

⊢ ∀m n. 0 < m ⇒ (n ≤ m − 1 ⇔ n < m)

⊢ ∀p m. p − m < SUC p

⊢ ∀m n. 0 < n ∧ n ≤ m ⇒ (m − n) MOD n = m MOD n

⊢ ∀n m. SUC n − SUC m = n − m

⊢ ∀a b c. a − (b + c) = a − b − c

⊢ ∀m n p. m − n + p = if m ≤ n then p else m + p − n

⊢ ∀m n p. m − n = p ⇔ m = n + p ∨ m ≤ n ∧ p ≤ 0

⊢ ∀m n p. m − n > p ⇔ m > n + p

⊢ ∀m n p. m − n ≥ p ⇔ m ≥ n + p ∨ 0 ≥ p

⊢ ∀m n p. m − n < p ⇔ m < n + p ∧ 0 < p

⊢ ∀m n p. m − n ≤ p ⇔ m ≤ n + p

⊢ ∀m n p. m − n − p = m − (n + p)

⊢ ∀b c. c ≤ b ⇒ ∀a. a − (b − c) = a + c − b

⊢ ∀m n. SUC (m + n) = SUC n + m

⊢ ∀f g.
    (∀n. g (SUC n) = f n (SUC n)) ⇔
    (∀n. g (NUMERAL (BIT1 n)) = f (NUMERAL (BIT1 n) − 1) (NUMERAL (BIT1 n))) ∧
    ∀n. g (NUMERAL (BIT2 n)) = f (NUMERAL (BIT1 n)) (NUMERAL (BIT2 n))

⊢ ∀P. (∀n. P (SUC n) n) ⇔ ∀n. 0 < n ⇒ P n (n − 1)

⊢ SUC n < m ⇔ ∃m0. m = SUC m0 ∧ n < m0

⊢ SUC n − NUMERAL (BIT1 m) = n − (NUMERAL (BIT1 m) − 1) ∧
  SUC n − NUMERAL (BIT2 m) = n − NUMERAL (BIT1 m)

⊢ ∀n a b. 0 < n ⇒ (SUC a MOD n = SUC b MOD n ⇔ a MOD n = b MOD n)

⊢ ∀n. 0 ≠ SUC n

⊢ ∀n. SUC n ≠ 0

⊢ ∀n. SUC n = 1 + n

⊢ ∀n. 0 < SUC n

⊢ 0 < m ⇔ SUC (PRE m) = m

⊢ ∀a. SUC a − a = 1

⊢ ∀m. SUC m − 1 = m

⊢ (x + y)² = x² + 2 * x * y + y²

⊢ ∀R x y. R⁺ x y ⇔ ∃n. NRC R (SUC n) x y

⊢ ∀n. 2 * n = n + n

⊢ 2 = SUC 1

⊢ ∀x y. 2 ≤ x ** y ⇔ 1 < x ∧ 0 < y

⊢ (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m ≤ n ⇒ P m n) ⇒ ∀m n. P m n

⊢ (∀m. P m m) ∧ (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m < n ⇒ P m n) ⇒ ∀m y. P m y

⊢ ∀P. (∃n. P n) ⇒ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m

⊢ ∀P m. (∃a. P a) ⇒ ∃b. P b ∧ ∀c. P c ⇒ m b ≤ m c

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x ≤ y DIV z ⇔ x * z ≤ y)

⊢ 0 < n ⇒ x ≤ x ** n

⊢ x ≤ x²

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x < y DIV z ⇔ (x + 1) * z ≤ y)

⊢ 1 < b ⇒ x < b ** x

⊢ x < b ** x ⇔ 1 < b ∨ x = 0

⊢ x < x² ⇔ 1 < x

⊢ ∀x y. 0 < y ⇒ (x MOD y = x ⇔ x < y)

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ 0 DIV n = 0

⊢ 0 ** x = if x = 0 then 1 else 0

⊢ ∀m n. 0 < m + n ⇔ 0 < m ∨ 0 < n

⊢ ∀n. 0 ≤ n

⊢ ∀m n. 0 < SUC n ** m

⊢ ∀m n. 0 < m * n ⇔ 0 < m ∧ 0 < n

⊢ 0 < x ** y ⇔ 0 < x ∨ y = 0

⊢ ∀n. 0 < n ⇒ 0 MOD n = 0

⊢ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (2 * n) ∧ P (2 * n + 1)) ⇒ ∀n. P n

⊢ bool_to_bit x MOD 2 = bool_to_bit x

⊢ bool_to_bit (x ⇎ y) = (bool_to_bit x + bool_to_bit y) MOD 2

⊢ DATATYPE (num 0 SUC)

⊢ n ≤ m ⇒ findq (a,m,n) * n ≤ a * m

⊢ ∀a m n. findq (a,m,n) = 0 ⇔ a = 0

⊢ findq (a,m,n) =
  if n = 0 then a
  else (let d = 2 * n in if m < d then a else findq (2 * a,m,d))

⊢ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = SUC n

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ x ≤ M) ⇔ ∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ x ≤ m

⊢ num_CASE (NUMERAL (BIT1 n)) z s = s (NUMERAL (BIT1 n) − 1) ∧
  num_CASE (NUMERAL (BIT2 n)) z s = s (NUMERAL (BIT1 n))

⊢ ∀n. num_CASE n f g = if n = 0 then f else g (PRE n)

⊢ ∀M M' v f.
    M = M' ∧ (M' = 0 ⇒ v = v') ∧ (∀n. M' = SUC n ⇒ f n = f' n) ⇒
    num_CASE M v f = num_CASE M' v' f'

⊢ (∀v f. num_CASE 0 v f = v) ∧ ∀n v f. num_CASE (SUC n) v f = f n

⊢ num_CASE n zc sc = v ⇔ n = 0 ∧ zc = v ∨ ∃x. n = SUC x ∧ sc x = v

⊢ ∀m n. m = n ∨ m < n ∨ n < m

⊢ transitive $<=

⊢ transitive $<

⊢ ∀f. transitive (measure f)

⊢ ∀R f.
    transitive R ∧ (∀n. R (f n) (f (SUC n))) ⇒ ∀m n. m < n ⇒ R (f m) (f n)