Theory real

⊢ ∀p. inf p = -sup (λr. p (-r))

⊢ ∀r. NZ r = if r = 0 then 0 else 1

⊢ ∀x. pos x = if 0 ≤ x then x else 0

⊢ ∀x. sgn x = if 0 < x then 1 else if x < 0 then -1 else 0

⊢ ∀x. sqrt x = @u. (0 < x ⇒ 0 < u) ∧ u² = x

⊢ ∀P. sup P = @s. ∀y. (∃x. P x ∧ y < x) ⇔ y < s

⊢ abs 0 = 0

⊢ abs 1 = 1

⊢ ∀x. abs (abs x) = abs x

⊢ ∀x y d. 0 < d ∧ x − d < y ∧ y < x + d ⇔ abs (y − x) < d

⊢ ∀x y z. x < z ∧ abs (y − x) < z − x ⇒ y < z

⊢ ∀x0 x y0 y.
    x0 < y0 ∧ abs (x − x0) < (y0 − x0) / 2 ∧ abs (y − y0) < (y0 − x0) / 2 ⇒
    x < y

⊢ ∀x y d. abs (x − y) < d ⇒ y < x + d

⊢ ∀x k. abs x ≤ k ⇔ -k ≤ x ∧ x ≤ k

⊢ ∀x k. abs x < k ⇔ -k < x ∧ x < k

⊢ ∀a b x B. abs x ≤ B ⇒ min a (-B) ≤ x ∧ x ≤ max b B

⊢ ∀x. x = 0 ∨ 0 < abs x

⊢ ∀x y h. abs h < abs y − abs x ⇒ abs (x + h) < abs y

⊢ ∀y. y ≠ 0 ⇒ ∀x. abs (x / y) = abs x / abs y

⊢ ∀x. x < 0 ⇒ abs x = -x

⊢ ∀x. x ≤ 0 ⇒ abs x = -x

⊢ ∀x. x ≠ 0 ⇒ abs x⁻¹ = (abs x)⁻¹

⊢ ∀x. x ≤ abs x

⊢ ∀w x y z. abs w < y ∧ abs x < z ⇒ abs (w * x) < y * z

⊢ ∀x y. abs (x * y) = abs x * abs y

⊢ ∀n. abs (&n) = &n

⊢ ∀x. abs (-x) = abs x

⊢ ∀x. abs x ≠ 0 ⇔ x ≠ 0

⊢ ∀x. x ≠ 0 ⇔ 0 < abs x

⊢ ∀x. 0 < abs x ⇔ x ≠ 0

⊢ ∀x. 0 ≤ abs x

⊢ ∀x. abs x² = x²

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ abs x = x

⊢ ∀x. abs x = x ⇔ 0 ≤ x

⊢ ∀x y. abs (x − y) < y ⇒ 0 < x

⊢ ∀x y. abs (x − y) < -y ⇒ x < 0

⊢ ∀x y. abs (x − y) < abs y ⇒ x ≠ 0

⊢ ∀x y. abs (x − y) = abs (y − x)

⊢ ∀x y. abs (abs x − abs y) ≤ abs (x − y)

⊢ ∀f m n. abs (sum (m,n) f) ≤ sum (m,n) (λn. abs (f n))

⊢ ∀x y. abs (x + y) ≤ abs x + abs y

⊢ ∀x y. abs x + abs y < e ⇒ abs (x + y) < e

⊢ ∀x y. abs (x − y) ≤ abs x + abs y

⊢ ∀x y. abs x ≤ abs y + abs (x − y)

⊢ ∀x. abs x = 0 ⇔ x = 0

⊢ ∀x y. (x + y)² = x² + y² + 2 * x * y

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ &clg x < x + 1

⊢ 2 * (1 / 2) = 1

⊢ 1 / 2 < 1

⊢ 0 < 1 / 2

⊢ INFINITE 𝕌(:real)

⊢ ∀p. inf p = -sup (λr. -r ∈ p)

⊢ ∀k x. k ≤ abs x ⇔ x ≤ -k ∨ k ≤ x

⊢ ∀x. x ≤ &clg x

⊢ -x pow NUMERAL (BIT1 n) = -(x pow NUMERAL (BIT1 n)) ∧
  -x pow NUMERAL (BIT2 n) = x pow NUMERAL (BIT2 n)

⊢ ∀x. x ≤ 0 ⇒ clg x = 0

⊢ ∀x n. x ≤ &n ⇒ clg x ≤ n

⊢ ∀r s. r ≤ s ⇒ clg r ≤ clg s

⊢ clg (&n) = n

⊢ ∀r. clg r = (let n = flr r in if r ≤ 0 ∨ r = &n then n else n + 1)

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ &clg x < x + 1

⊢ ∀x. clg x = LEAST n. x ≤ &n

⊢ ∀r. r < 1 ⇒ flr r = 0

⊢ 0 ≤ x ∧ 0 < y ⇒ &flr (x / y) * y ≤ x

⊢ 0 ≤ x ∧ 0 < y ⇒ x < &(flr (x / y) + 1) * y

⊢ flr (&n) = n ∧ flr (-&n) = 0 ∧ (0 < m ⇒ flr (&n / &m) = n DIV m) ∧
  (0 < m ⇒ flr (-&n / &m) = 0)

⊢ 0 ≤ x ⇒ &flr x ≤ x

⊢ 0 ≤ y ⇒ (x ≤ flr y ⇔ &x ≤ y)

⊢ flr x ≤ y ⇔ x < &y + 1

⊢ x < &n ⇔ flr (x + 1) ≤ n

⊢ ∀x. x − 1 < &flr x

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ∧ x ≤ y ⇒ flr x ≤ flr y

⊢ ∀n x. 1 < n ∧ 1 ≤ x ⇒ x < &(n * flr x)

⊢ ∀x. 0 < flr x ⇔ 1 ≤ x

⊢ ∀x. flr x = LEAST n. &(n + 1) > x

⊢ ∀x. 1 ≤ x ⇒ x / 2 < &flr x

⊢ &n ≤ x ⇔ n < flr (x + 1)

⊢ ∀x n. 1 < x ⇒ (n < flr x ⇔ &n ≤ x − 1)

⊢ 1 − 1 / 2 = 1 / 2

⊢ ∀n. 0 pow SUC n = 0

⊢ 0 < n ⇒ 0 pow n = 0

⊢ ∀x. x pow 1 = x

⊢ ∀x. x² = x * x

⊢ ∀x. x < -1 ∨ 1 < x ⇒ 1 < x²

⊢ ∀n. 1 ≤ 2 pow n

⊢ ∀n. &n < 2 pow n

⊢ ∀x. -1 < x ∧ x < 1 ⇒ x² < 1

⊢ 0 ≤ x ⇒ sqrt x² = x

⊢ ∀c n. abs c pow n = abs (c pow n)

⊢ ∀c m n. c pow (m + n) = c pow m * c pow n

⊢ ∀n x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ∧ x pow SUC n = y pow SUC n ⇒ x = y

⊢ ∀n. 0 < (1 / 2) pow n

⊢ ∀c. c ≠ 0 ⇒ ∀n. (c pow n)⁻¹ = c⁻¹ pow n

⊢ ∀n x y. 0 ≤ x ∧ x ≤ y ⇒ x pow n ≤ y pow n

⊢ ∀n x y. 0 ≤ x ∧ x < y ⇒ x pow SUC n < y pow SUC n

⊢ ∀n. abs (-1 pow n) = 1

⊢ ∀n. -1 pow (2 * n) = 1

⊢ ∀n. -1 pow (2 * n + 1) = -1

⊢ ∀n x y. (x * y) pow n = x pow n * y pow n

⊢ ∀c n. c ≠ 0 ⇒ c pow n ≠ 0

⊢ ∀n. 1 pow n = 1

⊢ ∀e. 0 < e ⇒ ∀n. 1 + &n * e ≤ (1 + e) pow n

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ ∀n. 0 ≤ x pow n

⊢ ∀x n. 0 < x ⇒ 0 < x pow SUC n

⊢ ∀n x. x pow n = 0 ⇒ x = 0

⊢ ∀n x. x pow SUC n = 0 ⇔ x = 0

⊢ ∀a b c x.
    a ≠ 0 ⇒
    a * x² + b * x + c = 0 ⇒
    x = (-b + sqrt (b² − 4 * a * c)) / (2 * a) ∨
    x = (-b − sqrt (b² − 4 * a * c)) / (2 * a)

⊢ y1 ≠ 0 ∧ y2 ≠ 0 ⇒ x1 / y1 + x2 / y2 = (x1 * y2 + x2 * y1) * y1⁻¹ * y2⁻¹

⊢ 0 < y1 ∧ 0 < y2 ⇒ x1 / y1 + x2 / y2 = (x1 * y2 + x2 * y1) * y1⁻¹ * y2⁻¹

⊢ 0 < y1 ∧ 0 < y2 ⇒ x1 / y1 − x2 / y2 = (x1 * y2 − x2 * y1) * y1⁻¹ * y2⁻¹

⊢ 0 < y1 ∧ 0 < y2 ⇒ (x1 / y1 ≤ x2 / y2 ⇔ x1 * y2 ≤ x2 * y1)

⊢ 0 < y1 ∧ 0 < y2 ⇒ (x1 / y1 = x2 / y2 ⇔ x1 * y2 = x2 * y1)

⊢ y1 ≠ 0 ∧ y2 ≠ 0 ⇒ (x1 / y1 = x2 / y2 ⇔ x1 * y2 = x2 * y1)

⊢ ∀n. &SUC n = &n + 1

⊢ real_0 = 0

⊢ real_1 = 1

⊢ 1 ≠ 0

⊢ abs 0 = 0

⊢ ∀x y. abs (x / y) = abs x / abs y

⊢ ∀v. abs v ≤ 0 ⇔ v = 0

⊢ ∀x y. abs (x * y) = abs x * abs y

⊢ ∀x. 0 ≤ abs x

⊢ ∀x. abs (sgn x) = sgn (abs x)

⊢ ∀x y. abs (x + y) ≤ abs x + abs y

⊢ ∀m n. &m + &n = &(m + n)

⊢ ∀a b c d. a + b − (c + d) = a − c + (b − d)

⊢ ∀x y. x + y ≤ y ⇔ x ≤ 0

⊢ ∀x y z. x + (y + z) = x + y + z

⊢ ∀x y. x + y = y + x

⊢ ∀x y z. x * (y + z) = x * y + x * z

⊢ ∀x. 0 + x = x

⊢ ∀x y. x + y = y ⇔ x = 0

⊢ ∀x. -x + x = 0

⊢ ∀a b c d. b ≠ 0 ∧ d ≠ 0 ⇒ a / b + c / d = (a * d + b * c) / (b * d)

⊢ ∀x y z. (x + y) * z = x * z + y * z

⊢ ∀x. x + 0 = x

⊢ ∀x y. x + y = x ⇔ y = 0

⊢ ∀x. x + -x = 0

⊢ ∀x y. x + y − x = y

⊢ ∀x y. x − (x + y) = -y

⊢ ∀x y. x + y − y = x

⊢ ∀x y. x + y = y + x

⊢ ∀x. 0 < x ⇒ ∀y. ∃n. y < &n * x

⊢ ∀e. 0 < e ⇔ ∃n. n ≠ 0 ∧ 0 < (&n)⁻¹ ∧ (&n)⁻¹ < e

⊢ ∀y. 0 < y ⇒ ∀x. 0 ≤ x ⇒ ∃n. &n * y ≤ x ∧ x < &SUC n * y

⊢ ∀x y. 1 < x ⇒ ∃n. y < x pow n

⊢ ∀x. ∃n. x < 2 pow n

⊢ ∀x y. 0 < y ∧ x < 1 ⇒ ∃n. x pow n < y

⊢ ∀r. ∃n. r < &n

⊢ ∀c. 0 ≤ c ⇒ ∃x. abs x = c

⊢ ∀x y. (x + y) * (x − y) = x * x − y * y

⊢ ∀x y z. y / x + z / x = (y + z) / x

⊢ ∀x y z. x ≠ 0 ⇒ y / x / (z / x) = y / z

⊢ ∀y z. y / 2 / (z / 2) = y / z

⊢ ∀y z. y / 3 / (z / 3) = y / z

⊢ ∀x y z. x ≠ 0 ⇒ y / x * (x / z) = y / z

⊢ ∀y z. y / 2 * (2 / z) = y / z

⊢ ∀y z. y / 3 * (3 / z) = y / z

⊢ ∀x y. y ≠ 0 ⇒ y * (x / y) = x

⊢ ∀c a b. c ≠ 0 ⇒ c * a / (c * b) = a / b

⊢ ∀x y. -x / y = -(x / y)

⊢ ∀a b c d. 0 < b * d ⇒ (a / b < c / d ⇔ a * d < c * b)

⊢ ∀x. 0 / x = 0

⊢ ∀x z. x ≠ 0 ∧ z ≠ 0 ⇒ ∀y. y / z = x * y / (x * z)

⊢ ∀x y z. x ≠ 0 ⇒ x / y * (z / x) = z / y

⊢ ∀y z. 2 / y * (z / 2) = z / y

⊢ ∀y z. 3 / y * (z / 3) = z / y

⊢ ∀a b c d. a / b * (c / d) = a * c / (b * d)

⊢ ∀x. x ≠ 0 ⇒ x / x = 1

⊢ 2 / 2 = 1

⊢ 3 / 3 = 1

⊢ ∀x y. y ≠ 0 ⇒ x / y * y = x

⊢ ∀c a b. c ≠ 0 ⇒ a * c / (b * c) = a / b

⊢ ∀x y. x / -y = -(x / y)

⊢ ∀x y z. y / x − z / x = (y − z) / x

⊢ ∀a b. a / b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

⊢ ∀x. x + x = 2 * x

⊢ ∀x. 0 < x ⇒ ∃y. 0 < y ∧ y < x

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ⇒ ∃z. 0 < z ∧ z < x ∧ z < y

⊢ ∀x y. x * y = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0

⊢ ∀x y. x = y ⇒ x ≤ y

⊢ ∀x y z. x + y = x + z ⇔ y = z

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x / z = y ⇔ x = y * z)

⊢ ∀x y z. x * y = x * z ⇔ x = 0 ∨ y = z

⊢ ∀x y z. x ≠ 0 ⇒ (y = z ⇔ x * y = x * z)

⊢ ∀x y z. x ≠ 0 ∧ x * y = x * z ⇒ y = z

⊢ ∀x y z. x * y = x * z ⇔ x = 0 ∨ y = z

⊢ ∀x y. -x = -y ⇔ x = y

⊢ ∀x y z. x + z = y + z ⇔ x = y

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x = y / z ⇔ x * z = y)

⊢ ∀x y z. z ≠ 0 ⇒ (x = y / z ⇔ x * z = y)

⊢ ∀x y z. x * z = y * z ⇔ z = 0 ∨ x = y

⊢ ∀x y z. z ≠ 0 ∧ x * z = y * z ⇒ x = y

⊢ ∀x y. x = y ⇔ sgn x = sgn y ∧ abs x = abs y

⊢ ∀x y z. x = y − z ⇔ x + z = y

⊢ ∀x y z. x − y = z ⇔ x = z + y

⊢ ∀n. &FACT n ≠ 0

⊢ (0 < 1 / 2 ∧ 1 / 2 < 1) ∧ 0 ≤ 1 / 2 ∧ 1 / 2 ≤ 1

⊢ ∀x. x / 2 + x / 2 = x

⊢ ∀p r. (∃z. ∀x. p x ⇒ z ≤ x) ∧ (∃x. p x ∧ x ≤ r) ⇒ inf p ≤ r

⊢ ∀p r. (∃z. ∀x. x ∈ p ⇒ z ≤ x) ∧ (∃x. x ∈ p ∧ x ≤ r) ⇒ inf p ≤ r

⊢ ∀p r. (∃x. p x) ∧ (∀x. p x ⇒ r ≤ x) ⇒ r ≤ inf p

⊢ ∀p r. p ≠ ∅ ∧ (∀x. x ∈ p ⇒ r ≤ x) ⇒ r ≤ inf p

⊢ ∀p x. (∃z. ∀r. p r ⇒ r ≤ z) ∧ (∃r. p r ∧ x ≤ r) ⇒ x ≤ sup p

⊢ ∀p x. (∃z. ∀r. r ∈ p ⇒ r ≤ z) ∧ (∃r. r ∈ p ∧ x ≤ r) ⇒ x ≤ sup p

⊢ ∀p x. (∃z. ∀r. p r ⇒ r ≤ z) ∧ ¬p (sup p) ∧ p x ⇒ x < sup p

⊢ ∀p x. (∃z. ∀r. r ∈ p ⇒ r ≤ z) ∧ sup p ∉ p ∧ p x ⇒ x < sup p

⊢ ∀x1 x2 y1 y2. x1 ≤ y1 ∧ x2 ≤ y2 ⇒ max x1 x2 ≤ max y1 y2

⊢ ∀x1 x2 y1 y2. x1 ≤ y1 ∧ x2 ≤ y2 ⇒ min x1 x2 ≤ min y1 y2

⊢ ∀p x. (∃r. p r) ∧ (∀r. p r ⇒ r ≤ x) ⇒ sup p ≤ x

⊢ ∀p x. p ≠ ∅ ∧ (∀r. r ∈ p ⇒ r ≤ x) ⇒ sup p ≤ x

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ z < x) ⇒ ∀y. (∃x. P x ∧ x < y) ⇔ inf P < y

⊢ ∀P. P ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ P ⇒ z < x) ⇒ ∀y. (∃x. x ∈ P ∧ x < y) ⇔ inf P < y

⊢ ∀p e. (∃x. p x) ∧ 0 < e ⇒ ∃x. p x ∧ x < inf p + e

⊢ ∀p e. p ≠ ∅ ∧ 0 < e ⇒ ∃x. x ∈ p ∧ x < inf p + e

⊢ ∀p x.
    (∃y. p y) ∧ (∃y. ∀z. p z ⇒ y ≤ z) ⇒
    (inf p ≤ x ⇔ ∀y. (∀z. p z ⇒ y ≤ z) ⇒ y ≤ x)

⊢ ∀p x.
    p ≠ ∅ ∧ (∃y. ∀z. z ∈ p ⇒ y ≤ z) ⇒
    (inf p ≤ x ⇔ ∀y. (∀z. z ∈ p ⇒ y ≤ z) ⇒ y ≤ x)

⊢ ∀p z. (∃x. p x) ∧ inf p < z ⇒ ∃x. p x ∧ x < z

⊢ ∀p z. p ≠ ∅ ∧ inf p < z ⇒ ∃x. x ∈ p ∧ x < z

⊢ ∀p z. p z ∧ (∀x. p x ⇒ z ≤ x) ⇒ inf p = z

⊢ ∀p z. z ∈ p ∧ (∀x. x ∈ p ⇒ z ≤ x) ⇒ inf p = z

⊢ ∀m n. &m = &n ⇔ m = n

⊢ (∀x. 0 * x = 0) ∧ (∀x y z. x + y = x + z ⇔ y = z) ∧
  ∀w x y z. w * y + x * z = w * z + x * y ⇔ w = x ∨ y = z

⊢ 1⁻¹ = 1

⊢ ∀x. x ≠ 0 ⇒ x⁻¹ ⁻¹ = x

⊢ 0⁻¹ = 0

⊢ 1⁻¹ = 1

⊢ ∀x. x⁻¹ = 1 / x

⊢ ∀x. 0 < x ∧ x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x⁻¹

⊢ ∀x y. x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ⇒ (x / y)⁻¹ = y * x⁻¹

⊢ ∀x y. (x / y)⁻¹ = y * x⁻¹

⊢ ∀x. x⁻¹ = 0 ⇔ x = 0

⊢ ∀x. 0 = x⁻¹ ⇔ x = 0

⊢ ∀x. 1 < x ⇒ x⁻¹ < 1

⊢ ∀x y. x⁻¹ = y⁻¹ ⇔ x = y

⊢ ∀x. x⁻¹ ⁻¹ = x

⊢ ∀x. 1 ≤ x ⇒ x⁻¹ ≤ 1

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ⇒ (x⁻¹ ≤ y⁻¹ ⇔ y ≤ x)

⊢ ∀x y. x < 0 ∧ y < 0 ∧ y ≤ x ⇒ x⁻¹ ≤ y⁻¹

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ∧ y ≤ x ⇒ x⁻¹ ≤ y⁻¹

⊢ x⁻¹ < 0 ⇔ x < 0

⊢ ∀x. 0 < x ∧ x < 1 ⇒ 1 < x⁻¹

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ⇒ (x⁻¹ < y⁻¹ ⇔ y < x)

⊢ ∀x y. x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ⇒ (x * y)⁻¹ = x⁻¹ * y⁻¹

⊢ ∀x y. (x * y)⁻¹ = x⁻¹ * y⁻¹

⊢ ∀x. (-x)⁻¹ = -x⁻¹

⊢ ∀x. x ≠ 0 ⇒ x⁻¹ ≠ 0

⊢ ∀x. 0 < x ⇒ 0 < x⁻¹

⊢ ∀x. (sgn x)⁻¹ = sgn x

⊢ x * x⁻¹ = NZ x ∧ x⁻¹ * x = NZ x

⊢ ∀x y z. x * (y + z) = x * y + x * z

⊢ ∀m n. &m ≤ &n ⇔ m ≤ n

⊢ ∀x. 1 ≤ x ⇒ 1 ≤ x²

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x + y

⊢ ∀w x y z. w ≤ x ∧ y < z ⇒ w + y < x + z

⊢ ∀x y. ¬(x < y ∧ y ≤ x)

⊢ ∀x y. x ≤ y ∨ y < x

⊢ ∀x y z. x ≤ y ∧ y < z ⇒ x < z

⊢ 0 ≤ 1

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x + y

⊢ ∀w x y z. w ≤ x ∧ y ≤ z ⇒ w + y ≤ x + z

⊢ ∀x y. y ≤ x + y ⇔ 0 ≤ x

⊢ ∀x y. x ≤ x + y ⇔ 0 ≤ y

⊢ ∀x y. x ≤ y ∧ y ≤ x ⇔ x = y

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x / y

⊢ ∀x. 0 ≤ x + x ⇔ 0 ≤ x

⊢ ∀x y. (∀e. 0 < e ⇒ x ≤ y + e) ⇒ x ≤ y

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ 0 ≤ x⁻¹

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ x ≤ y ⇒ y⁻¹ ≤ x⁻¹

⊢ ∀x. 0 ≤ x⁻¹ ⇔ 0 ≤ x

⊢ ∀x y z. x + y ≤ x + z ⇔ y ≤ z

⊢ ∀x y z. y ≤ z ⇒ x + y ≤ x + z

⊢ ∀x y z. 0 < x ∧ x * y ≤ x * z ⇒ y ≤ z

⊢ ∀x y z. 0 < x ∧ y ≤ z * x ⇒ y / x ≤ z

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x / z ≤ y ⇔ x ≤ y * z)

⊢ ∀x y z. 0 < x ⇒ (x * y ≤ x * z ⇔ y ≤ z)

⊢ ∀x y z. 0 ≤ x ∧ y ≤ z ⇒ x * y ≤ x * z

⊢ ∀x y z. 0 ≤ x ∧ y ≤ z ⇒ x * y ≤ x * z

⊢ ∀x y z. x < 0 ⇒ (x * y ≤ x * z ⇔ z ≤ y)

⊢ ∀a b c. a ≤ 0 ∧ b ≤ c ⇒ a * c ≤ a * b

⊢ ∀x y. -x ≤ y ⇔ 0 ≤ x + y

⊢ ∀x y. x ≤ y ⇔ x < y ∨ x = y

⊢ ∀z x y. z ≤ max x y ⇔ z ≤ x ∨ z ≤ y

⊢ ∀x y. x ≤ max x y

⊢ ∀x y. y ≤ max x y

⊢ ∀z x y. z ≤ min x y ⇔ z ≤ x ∧ z ≤ y

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x * y

⊢ ∀x1 x2 y1 y2. 0 ≤ x1 ∧ 0 ≤ y1 ∧ x1 ≤ x2 ∧ y1 ≤ y2 ⇒ x1 * y1 ≤ x2 * y2

⊢ ∀x y. -x ≤ -y ⇔ y ≤ x

⊢ ∀x y. -x ≤ -y ⇔ y ≤ x

⊢ ∀x. -x ≤ x ⇔ 0 ≤ x

⊢ ∀x. x ≤ -x ⇔ x ≤ 0

⊢ ∀x. 0 ≤ x ∨ 0 ≤ -x

⊢ ∀x. 0 ≤ x²

⊢ ∀x y z. x + z ≤ y + z ⇔ x ≤ y

⊢ ∀x y z. 0 < z ∧ x * z ≤ y * z ⇒ x ≤ y

⊢ ∀x y z. 0 < x ∧ y * x ≤ z ⇒ y ≤ z / x

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x / z ≤ y / z ⇔ x ≤ y)

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x ≤ y / z ⇔ x * z ≤ y)

⊢ ∀x. x ≤ x

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x * z ≤ y * z ⇔ x ≤ y)

⊢ ∀x y z. 0 ≤ x ∧ y ≤ z ⇒ y * x ≤ z * x

⊢ ∀x y z. 0 ≤ x ∧ y ≤ z ⇒ y * x ≤ z * x

⊢ ∀x y. x ≤ -y ⇔ x + y ≤ 0

⊢ ∀x. 0 ≤ x * x

⊢ ∀x y z. z − x ≤ z − y ⇔ y ≤ x

⊢ ∀x y z. x − z ≤ y − z ⇔ x ≤ y

⊢ ∀x y z. x ≤ y − z ⇔ x + z ≤ y

⊢ ∀x y z. x − y ≤ z ⇔ x ≤ z + y

⊢ ∀p x.
    (∃y. p y) ∧ (∃y. ∀z. p z ⇒ z ≤ y) ⇒
    (x ≤ sup p ⇔ ∀y. (∀z. p z ⇒ z ≤ y) ⇒ x ≤ y)

⊢ ∀p x.
    p ≠ ∅ ∧ (∃y. ∀z. z ∈ p ⇒ z ≤ y) ⇒
    (x ≤ sup p ⇔ ∀y. (∀z. z ∈ p ⇒ z ≤ y) ⇒ x ≤ y)

⊢ ∀x y. x ≤ y ∨ y ≤ x

⊢ ∀x y z. x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z

⊢ ∀x y. x * y = 1 ⇒ x = y⁻¹

⊢ ∀z x y. 0 ≤ z ∧ z ≤ 1 ⇒ z * x + (1 − z) * y ≤ max x y

⊢ ∀x y. x + y = 0 ⇔ x = -y

⊢ ∀m n. &m < &n ⇔ m < n

⊢ ∀x. 1 < x ⇒ 1 < x²

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 < x + y

⊢ ∀w x y z. w < x ∧ y ≤ z ⇒ w + y < x + z

⊢ ∀x y. ¬(x ≤ y ∧ y < x)

⊢ ∀x y. ¬(x ≤ y ∧ y < x)

⊢ ∀x y. x < y ∨ y ≤ x

⊢ ∀x y z. x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z

⊢ 0 < 1

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ x < y ⇒ x / y < 1

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x + y

⊢ ∀x y. x ≤ y ⇒ x < y + 1

⊢ ∀w x y z. w < x ∧ y < z ⇒ w + y < x + z

⊢ ∀x y. y < x + y ⇔ 0 < x

⊢ ∀x y z. y < x + -z ⇔ y + z < x

⊢ ∀x y z. x + -y < z ⇔ x < z + y

⊢ ∀x y. x < x + y ⇔ 0 < y

⊢ ∀x y z. x + y < z ⇔ x < z − y

⊢ ∀x y. ¬(x < y ∧ y < x)

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x / y

⊢ ∀n d. 1 < n ⇒ (d / &n < d ⇔ 0 < d)

⊢ ∀n d. n ≠ 0 ⇒ (0 < d / &n ⇔ 0 < d)

⊢ ∀x y. x < y ⇒ ¬(y < x)

⊢ ∀d. 0 < d / 2 ⇔ 0 < d

⊢ ∀d. d / 2 < d ⇔ 0 < d

⊢ ∀x y z. y < z ⇒ x + y < x + z

⊢ ∀x y. x < y ⇒ x ≤ y

⊢ ∀x y. x < y ⇒ x ≠ y

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ x < y ⇒ y⁻¹ < x⁻¹

⊢ ∀x. 0 < x ⇒ 0 < x⁻¹

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ x < y ⇒ y⁻¹ < x⁻¹

⊢ ∀x. 0 < x⁻¹ ⇔ 0 < x

⊢ ∀x y z. x + y < x + z ⇔ y < z

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x / z < y ⇔ x < y * z)

⊢ ∀x y. x < y ⇔ x ≤ y ∧ x ≠ y

⊢ ∀x y z. 0 < x ⇒ (x * y < x * z ⇔ y < z)

⊢ ∀x y. 0 < x ⇒ (0 < x * y ⇔ 0 < y)

⊢ ∀x y z. y < z ∧ 0 < x ⇒ x * y < x * z

⊢ ∀x y z. x < 0 ⇒ (x * y < x * z ⇔ z < y)

⊢ ∀x y z. z < max x y ⇔ z < x ∨ z < y

⊢ ∀x y z. z < min x y ⇔ z < x ∧ z < y

⊢ ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x * y

⊢ ∀x1 x2 y1 y2. 0 ≤ x1 ∧ 0 ≤ y1 ∧ x1 < x2 ∧ y1 < y2 ⇒ x1 * y1 < x2 * y2

⊢ ∀n d. 1 < n ⇒ (d < &n * d ⇔ 0 < d)

⊢ ∀x y. -x < -y ⇔ y < x

⊢ ∀x. x = 0 ∨ 0 < x ∨ 0 < -x

⊢ ∀n. &n ≠ 0 ⇔ 0 < &n

⊢ ∀x y z. x + z < y + z ⇔ x < y

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x / z < y / z ⇔ x < y)

⊢ ∀y z. 0 < z ⇒ (0 < y / z ⇔ 0 < y)

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x < y / z ⇔ x * z < y)

⊢ ∀x. ¬(x < x)

⊢ ∀x y z. 0 < z ⇒ (x * z < y * z ⇔ x < y)

⊢ ∀x y. 0 < y ⇒ (0 < x * y ⇔ 0 < x)

⊢ ∀x y z. x < y ∧ 0 < z ⇒ x * z < y * z

⊢ ∀x y. x < -y ⇔ x + y < 0

⊢ ∀x y z. x < y − z ⇔ x + z < y

⊢ ∀x y z. x − y < z ⇔ x < z + y

⊢ ∀x y. x = y ∨ x < y ∨ y < x

⊢ ∀x y z. x < y ∧ y < z ⇒ x < z

⊢ ∀x y z.
    max x y = max y x ∧ max (max x y) z = max x (max y z) ∧
    max x (max y z) = max y (max x z) ∧ max x x = x ∧
    max x (max x y) = max x y

⊢ ∀z x y. max (x + z) (y + z) = max x y + z

⊢ ∀x y. (x ≤ y ⇒ max x y = y) ∧ (y ≤ x ⇒ max x y = x)

⊢ ∀z x y. max x y ≤ z ⇔ x ≤ z ∧ y ≤ z

⊢ ∀x y z. max x y < z ⇔ x < z ∧ y < z

⊢ ∀x y. max x y = -min (-x) (-y)

⊢ ∀x. max x x = x

⊢ ∀z x y. max (x − z) (y − z) = max x y − z

⊢ ∀x y. max x y − min x y = abs (y − x)

⊢ ∀x y. x < y ⇒ ∃z. x < z ∧ z < y

⊢ ∀a b. a ≤ b ⇒ a ≤ (a + b) / 2

⊢ ∀a b. a ≤ b ⇒ (a + b) / 2 ≤ b

⊢ ∀x y z.
    min x y = min y x ∧ min (min x y) z = min x (min y z) ∧
    min x (min y z) = min y (min x z) ∧ min x x = x ∧
    min x (min x y) = min x y

⊢ ∀z x y. min (x + z) (y + z) = min x y + z

⊢ ∀x y. (x ≤ y ⇒ min x y = x) ∧ (y ≤ x ⇒ min x y = y)

⊢ ∀z x y. min x y ≤ z ⇔ x ≤ z ∨ y ≤ z

⊢ ∀x y. min x y ≤ x

⊢ ∀x y. min x y ≤ y

⊢ ∀z x y. 0 ≤ z ∧ z ≤ 1 ⇒ min x y ≤ z * x + (1 − z) * y

⊢ ∀x y. min x y ≤ max x y

⊢ ∀x y z. min x y < z ⇔ x < z ∨ y < z

⊢ ∀x y. min x y = -max (-x) (-y)

⊢ ∀x. min x x = x

⊢ ∀z x y. min (x − z) (y − z) = min x y − z

⊢ ∀m n. &m * &n = &(m * n)

⊢ ∀x y z. x * (y * z) = x * y * z

⊢ ∀x y. x * y = y * x

⊢ ∀x. 1 * x = x

⊢ ∀x. x ≠ 0 ⇒ x⁻¹ * x = 1

⊢ ∀x y. -x * y = -(x * y)

⊢ ∀x. 0 * x = 0

⊢ ∀x y. 0 < x * y ⇔ 0 < x ∧ 0 < y ∨ x < 0 ∧ y < 0

⊢ ∀x. x * 1 = x

⊢ ∀x. x ≠ 0 ⇒ x * x⁻¹ = 1

⊢ ∀x y. x * -y = -(x * y)

⊢ ∀x. x * 0 = 0

⊢ (∀x y. 0 ≤ x * y ⇔ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ∨ x ≤ 0 ∧ y ≤ 0) ∧
  ∀x y. x * y ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ∧ y ≤ 0 ∨ x ≤ 0 ∧ 0 ≤ y

⊢ ∀z x y. y * x + y * (z − x) = y * z

⊢ ∀z x y. x * y + (z − x) * y = z * y

⊢ ∀x y. x * y = y * x

⊢ ∀x. --x = x

⊢ -0 = 0

⊢ ∀x y. -(x + y) = -x + -y

⊢ ∀x y. -x = y ⇔ x = -y

⊢ ∀x. -x = 0 ⇔ x = 0

⊢ ∀x. 0 ≤ -x ⇔ x ≤ 0

⊢ ∀x. 0 < -x ⇔ x < 0

⊢ ∀x. x − x / 2 = x / 2

⊢ ∀x. x ≠ 0 ⇒ -x⁻¹ = (-x)⁻¹

⊢ -x⁻¹ = (-x)⁻¹

⊢ ∀x. -x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x

⊢ ∀x y. -(x * y) = -x * y

⊢ ∀x. -x < 0 ⇔ 0 < x

⊢ ∀x. -x = -1 * x

⊢ ∀x y. -x * -y = x * y

⊢ ∀x. --x = x

⊢ ∀x y. -(x * y) = x * -y

⊢ ∀x y. -(x − y) = y − x

⊢ ∀x. x − x / 3 = 2 * x / 3

⊢ ∀x y. ¬(x ≤ y) ⇔ y < x

⊢ ∀x y. ¬(x < y) ⇔ y ≤ x

⊢ ∀n. n ≠ 0 ⇒ 0 < &n

⊢ ∀m n. &m + &n = &(m + n)

⊢ ∀m n. &m = &n ⇔ m = n

⊢ ∀m n. &m ≤ &n ⇔ m ≤ n

⊢ ∀m n. &m < &n ⇔ m < n

⊢ ∀m n. &m * &n = &(m * n)

⊢ ∀x n. &x pow n = &(x ** n)

⊢ ∀m n. m ≤ n ⇒ &(n − m) = &n − &m

⊢ ∀n. &n + 1 = &SUC n

⊢ ∀x. x / 1 = x

⊢ ∀n. 0 ≤ &n

⊢ ∀x. 0 < x * x ⇔ x ≠ 0

⊢ ∀x. pos x = 0 ⇔ x ≤ 0

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ pos x = x

⊢ ∀x. x ≤ pos x

⊢ ∀x. pos x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0

⊢ ∀n. 0 < &SUC n

⊢ ∀x y. x ≤ y ⇒ pos x ≤ pos y

⊢ ∀x. 0 < x ⇒ x ≠ 0

⊢ ∀x. 0 ≤ pos x

⊢ ∀m n. &m pow n = &(m ** n)

⊢ ∀x. (abs x)² = x²

⊢ ∀n x. 0 ≤ x ∧ x ≤ 1 ⇒ x pow n ≤ 1

⊢ ∀x m n. x pow (m + n) = x pow m * x pow n

⊢ ∀m n x. 0 < x ∧ x ≤ 1 ∧ m ≤ n ⇒ x pow n ≤ x pow m

⊢ ∀m n x. 0 < x ∧ x < 1 ∧ m < n ⇒ x pow n < x pow m

⊢ ∀x y n. (x / y) pow n = x pow n / y pow n

⊢ ∀x n. x pow n = 0 ⇔ x = 0 ∧ n ≠ 0

⊢ 0 ≤ x pow n ⇔ 0 ≤ x ∨ EVEN n

⊢ ∀x n. x⁻¹ pow n = (x pow n)⁻¹

⊢ ∀x n. 0 ≤ x ⇒ 1 + &n * x ≤ (1 + x) pow n

⊢ ∀x n. 0 ≤ x ⇒ 0 ≤ x pow n

⊢ x pow n ≤ 0 ⇔ 0 < n ∧ x = 0 ∨ x < 0 ∧ ODD n

⊢ ∀n x. 1 ≤ x ⇒ 1 ≤ x pow n

⊢ ∀x n. 0 < x ⇒ 0 < x pow n

⊢ ∀n x y. n ≠ 0 ∧ 0 ≤ x ∧ x < y ⇒ x pow n < y pow n

⊢ ∀m n x. 1 ≤ x ∧ m ≤ n ⇒ x pow m ≤ x pow n

⊢ ∀m n x. 1 < x ⇒ (x pow m ≤ x pow n ⇔ m ≤ n)

⊢ ∀m n x. 1 < x ∧ m < n ⇒ x pow m < x pow n

⊢ x pow n < 0 ⇔ ODD n ∧ x < 0

⊢ ∀x n. -x pow n = if EVEN n then x pow n else -(x pow n)

⊢ 0 < x pow n ⇔ n = 0 ∨ 0 < x ∨ x < 0 ∧ EVEN n

⊢ ∀x m n. (x pow m) pow n = x pow (m * n)

⊢ ∀x y. x ≠ y ⇔ ∃z. (x − y) * z = 1

⊢ ∀x y z. (x + y) * z = x * z + y * z

⊢ ∀x y. x * y = 1 ⇒ y = x⁻¹

⊢ ∀x y. x + y = 0 ⇔ y = -x

⊢ ∀x. sgn x = x / abs x

⊢ ∀x y. sgn x = sgn y ⇔ (x = 0 ⇔ y = 0) ∧ (x > 0 ⇔ y > 0) ∧ (x < 0 ⇔ y < 0)

⊢ ∀x y. sgn x = sgn y ⇔ (x = 0 ⇒ y = 0) ∧ (x > 0 ⇒ y > 0) ∧ (x < 0 ⇒ y < 0)

⊢ sgn 0 = 0

⊢ ∀x. sgn x * abs x = x

⊢ ∀x. sgn x * x = abs x

⊢ ∀x. sgn x = 0 ∨ sgn x = 1 ∨ sgn x = -1

⊢ ∀x y. sgn (x / y) = sgn x / sgn y

⊢ (∀x. sgn x = 0 ⇔ x = 0) ∧ (∀x. sgn x = 1 ⇔ x > 0) ∧
  ∀x. sgn x = -1 ⇔ x < 0

⊢ ∀x y. sgn x = sgn y ⇔ x = y ∨ abs (x − y) < max (abs x) (abs y)

⊢ (∀x. 0 ≤ sgn x ⇔ 0 ≤ x) ∧ (∀x. 0 < sgn x ⇔ 0 < x) ∧
  (∀x. 0 ≥ sgn x ⇔ 0 ≥ x) ∧ (∀x. 0 > sgn x ⇔ 0 > x) ∧
  (∀x. 0 = sgn x ⇔ 0 = x) ∧ (∀x. sgn x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0) ∧
  (∀x. sgn x < 0 ⇔ x < 0) ∧ (∀x. sgn x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0) ∧
  (∀x. sgn x > 0 ⇔ x > 0) ∧ ∀x. sgn x = 0 ⇔ x = 0

⊢ ∀x. sgn x⁻¹ = sgn x

⊢ ∀x y. sgn (x * y) = sgn x * sgn y

⊢ ∀x. sgn (-x) = -sgn x

⊢ ∀x n. sgn (x pow n) = sgn x pow n

⊢ ∀x. sgn x² = sgn (abs x)

⊢ ∀x. sgn (sgn x) = sgn x

⊢ ∀m n. &m − &n = if m − n = 0 then -&(n − m) else &(m − n)

⊢ ∀x y. x − y = 0 ⇔ x = y

⊢ ∀x y. abs x − abs y ≤ abs (x − y)

⊢ ∀x y. x − y + y = x

⊢ ∀x y. y + (x − y) = x

⊢ ∀x y. x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ⇒ x⁻¹ − y⁻¹ = (y − x) / (x * y)

⊢ ∀x y z. x * (y − z) = x * y − x * z

⊢ ∀x y. 0 ≤ x − y ⇔ y ≤ x

⊢ ∀x y. -x − y = -(x + y)

⊢ ∀x y. 0 < x − y ⇔ y < x

⊢ ∀x y. x − y < 0 ⇔ x < y

⊢ ∀x. 0 − x = -x

⊢ ∀x y. -x − -y = y − x

⊢ &NUMERAL m − &NUMERAL n =
  if NUMERAL m − NUMERAL n = 0 then -&(NUMERAL n − NUMERAL m)
  else &(NUMERAL m − NUMERAL n)

⊢ ∀a b c d. b ≠ 0 ∧ d ≠ 0 ⇒ a / b − c / d = (a * d − b * c) / (b * d)

⊢ ∀x y z. (x − y) * z = x * z − y * z

⊢ ∀x. x − x = 0

⊢ ∀x y. x − -y = x + y

⊢ ∀x. x − 0 = x

⊢ ∀x y. x − y − x = -y

⊢ ∀x y. x − (x − y) = y

⊢ ∀a b c. a − b + (b − c) = a − c

⊢ ∀x y. x * x + y * y = 0 ⇔ x = 0 ∧ y = 0

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ x < z) ⇒ ∀y. (∃x. P x ∧ y < x) ⇔ y < sup P

⊢ ∀P. P ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ P ⇒ x < z) ⇒ ∀y. (∃x. x ∈ P ∧ y < x) ⇔ y < sup P

⊢ ∀P. (∀x. P x ⇒ 0 < x) ∧ (∃x. P x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ x < z) ⇒
      ∃s. ∀y. (∃x. P x ∧ y < x) ⇔ y < s

⊢ ∀x. sup (λr. r = x) = x

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ x < z) ⇒ ∃s. ∀y. (∃x. P x ∧ y < x) ⇔ y < s

⊢ ∀P. P ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ P ⇒ x < z) ⇒ ∃s. ∀y. (∃x. x ∈ P ∧ y < x) ⇔ y < s

⊢ ∀p. (∃x. p x) ∧ (∃z. ∀x. p x ⇒ x ≤ z) ⇒
      ∃!s. ∀y. (∃x. p x ∧ y < x) ⇔ y < s

⊢ ∀p. p ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ p ⇒ x ≤ z) ⇒
      ∃!s. ∀y. (∃x. x ∈ p ∧ y < x) ⇔ y < s

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ x ≤ z) ⇒ ∀y. (∃x. P x ∧ y < x) ⇔ y < sup P

⊢ ∀P. P ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ P ⇒ x ≤ z) ⇒ ∀y. (∃x. x ∈ P ∧ y < x) ⇔ y < sup P

⊢ ∀p z. p z ∧ (∀x. p x ⇒ x ≤ z) ⇒ sup p = z

⊢ ∀p z. z ∈ p ∧ (∀x. x ∈ p ⇒ x ≤ z) ⇒ sup p = z

⊢ ∀P. (∃x. P x ∧ 0 < x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ x < z) ⇒
      ∃s. ∀y. (∃x. P x ∧ y < x) ⇔ y < s

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ x < z) ⇒ ∀y. P y ⇒ y ≤ sup P

⊢ ∀P. P ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ P ⇒ x < z) ⇒ ∀y. y ∈ P ⇒ y ≤ sup P

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ x ≤ z) ⇒ ∀y. P y ⇒ y ≤ sup P

⊢ ∀P. P ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ P ⇒ x ≤ z) ⇒ ∀y. y ∈ P ⇒ y ≤ sup P

⊢ (0 < 1 / 3 ∧ 1 / 3 < 1 ∧ 0 < 2 / 3 ∧ 2 / 3 < 1) ∧ 0 ≤ 1 / 3 ∧ 1 / 3 ≤ 1 ∧
  0 ≤ 2 / 3 ∧ 2 / 3 ≤ 1

⊢ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃z. ∀x. P x ⇒ x ≤ z) ⇔ (∃x. P x) ∧ ∃z. ∀x. P x ⇒ x < z

⊢ ∀x. ∃n. x ≤ &n

⊢ ∀x. ∃n. -&n ≤ x

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ ∃n. &n ≤ x ∧ x < &SUC n

⊢ sqrt 0 = 0

⊢ sqrt 1 = 1

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ sqrt (x / y) = sqrt x / sqrt y

⊢ ∀x y. x² = y ∧ 0 ≤ x ⇒ x = sqrt y

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ sqrt x⁻¹ = (sqrt x)⁻¹

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ x ≤ y ⇒ sqrt x ≤ sqrt y

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ x < y ⇒ sqrt x < sqrt y

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ sqrt (x * y) = sqrt x * sqrt y

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ 0 ≤ sqrt x

⊢ ∀x. 0 < x ⇒ 0 < sqrt x

⊢ ∀x. 0 < x ⇒ sqrt x ≠ 0

⊢ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ∧ y² = x ⇒ sqrt x = y

⊢ ∀x. (sqrt x)² = x ⇔ 0 ≤ x

⊢ ∀x. 0 ≤ x ⇒ (sqrt x)² = x

⊢ ∀x. sqrt x² = abs x

⊢ ∀x y. x² = y ⇒ x = sqrt y ∨ x = -sqrt y

⊢ ∀x y. (x − y)² = x² + y² − 2 * x * y

⊢ ∀m n. sum (m,n) (λr. 0) = 0

⊢ ∀f n. sum (n,1) f = f n

⊢ ∀f n. sum (n,2) f = f n + f (n + 1)

⊢ ∀f m n. abs (sum (m,n) (λm. abs (f m))) = sum (m,n) (λm. abs (f m))

⊢ ∀f m n. abs (sum (m,n) f) ≤ sum (m,n) (λn. abs (f n))

⊢ ∀f g m n. sum (m,n) (λn. f n + g n) = sum (m,n) f + sum (m,n) g

⊢ ∀f k m n. (∀p. m ≤ p ∧ p < m + n ⇒ f p ≤ k) ⇒ sum (m,n) f ≤ &n * k

⊢ ∀f n d. sum (n,d) (λn. f (SUC n) − f n) = f (n + d) − f n

⊢ ∀f c m n. sum (m,n) (λn. c * f n) = c * sum (m,n) f

⊢ ∀f m n. sum (m,n) f = sum (0,m + n) f − sum (0,m) f

⊢ ∀d m n. sum (m,n) (λi. d (SUC i) − d i) = d (m + n) − d m

⊢ ∀f g m n. (∀r. m ≤ r ∧ r < n + m ⇒ f r = g r) ⇒ sum (m,n) f = sum (m,n) g

⊢ (∀r. m ≤ r ∧ r < m + n ⇒ f r = 0) ⇒ sum (m,n) f = 0

⊢ ∀n k f. sum (0,n) (λm. sum (m * k,k) f) = sum (0,n * k) f

⊢ ∀f g m n. (∀r. m ≤ r ∧ r < n + m ⇒ f r ≤ g r) ⇒ sum (m,n) f ≤ sum (m,n) g

⊢ ∀f g m n.
    (∀r. m ≤ r ∧ r < n + m ⇒ f r < g r) ∧ 0 < n ⇒ sum (m,n) f < sum (m,n) g

⊢ ∀f n d. sum (n,d) (λn. -f n) = -sum (n,d) f

⊢ ∀n f c. sum (0,n) f − &n * c = sum (0,n) (λp. f p − c)

⊢ ∀f n k. sum (0,n) (λm. f (m + k)) = sum (0,n + k) f − sum (0,k) f

⊢ ∀n p.
    (∀y. y < n ⇒ ∃!x. x < n ∧ p x = y) ⇒
    ∀f. sum (0,n) (λn. f (p n)) = sum (0,n) f

⊢ ∀n k x. sum (0,n) (λm. if m = k then x else 0) = if k < n then x else 0

⊢ ∀f. (∀n. 0 ≤ f n) ⇒ ∀m n. 0 ≤ sum (m,n) f

⊢ ∀f m. (∀n. m ≤ n ⇒ 0 ≤ f n) ⇒ ∀n. 0 ≤ sum (m,n) f

⊢ ∀f m k n. sum (m + k,n) f = sum (m,n) (λr. f (r + k))

⊢ ∀f m n p. sum (m,n) f + sum (m + n,p) f = sum (m,n + p) f

⊢ ∀f g m n. sum (m,n) (λn. f n − g n) = sum (m,n) f − sum (m,n) g

⊢ ∀f g m n. (∀p. m ≤ p ∧ p < m + n ⇒ f p = g p) ⇒ sum (m,n) f = sum (m,n) g

⊢ ∀f n p. sum (0,n) f + sum (n,p) f = sum (0,n + p) f

⊢ ∀f N. (∀n. n ≥ N ⇒ f n = 0) ⇒ ∀m n. m ≥ N ⇒ sum (m,n) f = 0

⊢ ∀p e. 0 < e ∧ (∃x. p x) ∧ (∃z. ∀x. p x ⇒ x ≤ z) ⇒ ∃x. p x ∧ sup p ≤ x + e

⊢ ∀p e. 0 < e ∧ p ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ p ⇒ x ≤ z) ⇒ ∃x. x ∈ p ∧ sup p ≤ x + e

⊢ ∀P s d.
    (∀y. (∃x. (λx. P (x + d)) x ∧ y < x) ⇔ y < s) ⇒
    ∀y. (∃x. P x ∧ y < x) ⇔ y < s + d

⊢ ∀P. (∃x. P x) ⇒ ∃d x. (λx. P (x + d)) x ∧ 0 < x

⊢ ∀d. (∃z. ∀x. P x ⇒ x < z) ⇒ ∃z. ∀x. (λx. P (x + d)) x ⇒ x < z

⊢ ∀p e. 0 < e ∧ (∃x. p x) ∧ (∃z. ∀x. p x ⇒ x ≤ z) ⇒ ∃x. p x ∧ sup p < x + e

⊢ ∀p e. 0 < e ∧ p ≠ ∅ ∧ (∃z. ∀x. x ∈ p ⇒ x ≤ z) ⇒ ∃x. x ∈ p ∧ sup p < x + e

⊢ ∀x. 1 / 2 * x + 1 / 2 * x = x

⊢ (0 < x pow NUMERAL (BIT2 n) ⇔ x ≠ 0) ∧
  (0 < x pow NUMERAL (BIT1 n) ⇔ 0 < x)

⊢ 0 < x⁻¹ pow n ⇔ 0 < x pow n

⊢ ∀x. abs x = if 0 ≤ x then x else -x

⊢ &n + &m = &(n + m) ∧ -&n + &m = (if n ≤ m then &(m − n) else -&(n − m)) ∧
  &n + -&m = (if n < m then -&(m − n) else &(n − m)) ∧
  -&n + -&m = -&(n + m)

⊢ x / y + u / v =
  if y = 0 then unint (x / y) + u / v
  else if v = 0 then x / y + unint (u / v)
  else if y = v then (x + u) / v
  else (x * v + u * y) / (y * v)

⊢ x / y + z = if y = 0 then unint (x / y) + z else (x + z * y) / y

⊢ x + y / z = if z = 0 then x + unint (y / z) else (x * z + y) / z

⊢ x / y / (u / v) =
  if u = 0 ∨ v = 0 then x / y / unint (u / v)
  else if y = 0 then unint (x / y) / (u / v)
  else x * v / (y * u)

⊢ x / y / z =
  if y = 0 then unint (x / y) / z
  else if z = 0 then unint (x / y / z)
  else x / (y * z)

⊢ x / (y / z) = x * z / y

⊢ (&n = &m ⇔ n = m) ∧ (-&n = &m ⇔ n = 0 ∧ m = 0) ∧
  (&n = -&m ⇔ n = 0 ∧ m = 0) ∧ (-&n = -&m ⇔ n = m)

⊢ x / y = u / v ⇔
  if y = 0 then u = 0 ∨ v = 0
  else if v = 0 then x = 0
  else if y = v then x = u
  else x * v = y * u

⊢ x / y = z ⇔ if y = 0 then unint (x / y) = z else x = y * z

⊢ z = x / y ⇔ if y = 0 then z = unint (x / y) else y * z = x

⊢ ∀p. inf p = -sup (IMAGE numeric_negate p)

⊢ (&n ≤ &m ⇔ n ≤ m) ∧ (-&n ≤ &m ⇔ T) ∧ (&n ≤ -&m ⇔ n = 0 ∧ m = 0) ∧
  (-&n ≤ -&m ⇔ m ≤ n)

⊢ x / &n ≤ u / &m ⇔
  if n = 0 then unint (x / 0) ≤ u / &m
  else if m = 0 then x / &n ≤ unint (u / 0)
  else &m * x ≤ &n * u

⊢ x / &n ≤ u ⇔ if n = 0 then unint (x / 0) ≤ u else x ≤ &n * u

⊢ x ≤ u / &m ⇔ if m = 0 then x ≤ unint (u / 0) else &m * x ≤ u

⊢ (&n < &m ⇔ n < m) ∧ (-&n < &m ⇔ n ≠ 0 ∨ m ≠ 0) ∧ (&n < -&m ⇔ F) ∧
  (-&n < -&m ⇔ m < n)

⊢ x / &n < u / &m ⇔
  if n = 0 then unint (x / 0) < u / &m
  else if m = 0 then x / &n < unint (u / 0)
  else &m * x < &n * u

⊢ x / &n < u ⇔ if n = 0 then unint (x / 0) < u else x < &n * u

⊢ x < u / &m ⇔ if m = 0 then x < unint (u / 0) else &m * x < u

⊢ ∀x y. max x y = if x ≤ y then y else x

⊢ ∀x y. min x y = if x ≤ y then x else y

⊢ &a * &b = &(a * b) ∧ -&a * &b = -&(a * b) ∧ &a * -&b = -&(a * b) ∧
  -&a * -&b = &(a * b)

⊢ x / y * (u / v) =
  if y = 0 then unint (x / y) * (u / v)
  else if v = 0 then x / y * unint (u / v)
  else x * u / (y * v)

⊢ x / y * z = if y = 0 then unint (x / y) * z else x * z / y

⊢ x * (y / z) = if z = 0 then x * unint (y / z) else x * y / z

⊢ -(x / y) = -x / y ∧ x / -y = -x / y

⊢ NZ 0 = 0

⊢ NZ r = 0 ⇔ r = 0

⊢ r ≠ 0 ⇒ NZ r = 1

⊢ NZ (&NUMERAL (BIT1 n)) = 1 ∧ NZ (&NUMERAL (BIT2 n)) = 1

⊢ NZ x⁻¹ = NZ x

⊢ NZ r * NZ r = NZ r

⊢ NZ (x * y) = NZ x * NZ y

⊢ 0 < n ⇒ NZ x pow n = NZ x

⊢ NZ (NZ x) = NZ x

⊢ NZ (x pow n) = NZ x pow n

⊢ (∀x. x pow 0 = 1) ∧ ∀x n. x pow SUC n = x * x pow n

⊢ ∀x. x pow 0 = 1

⊢ x pow y = 0 ⇔ x = 0 ∧ 0 < y

⊢ x pow m * x⁻¹ pow m = NZ x pow m

⊢ 0 < n ⇒ x pow n * x⁻¹ = x pow (n − 1) * NZ x

⊢ ∀x m n. n < m ⇒ x pow m * x⁻¹ pow n = x pow (m − n)

⊢ ∀x m n. m < n ⇒ x pow m * x⁻¹ pow n = x⁻¹ pow (n − m)

⊢ x pow 0 = 1 ∧ 0 pow NUMERAL (BIT1 n) = 0 ∧ 0 pow NUMERAL (BIT2 n) = 0 ∧
  &NUMERAL a pow NUMERAL n = &(NUMERAL a ** NUMERAL n) ∧
  -&NUMERAL a pow NUMERAL n =
  (if ODD (NUMERAL n) then numeric_negate else (λx. x))
    (&(NUMERAL a ** NUMERAL n)) ∧ (x / y) pow n = x pow n / y pow n

⊢ ∀x y. x / y = x * y⁻¹

⊢ ∀x y. x ≥ y ⇔ y ≤ x

⊢ ∀x y. x > y ⇔ y < x

⊢ ∀y x. x < y ⇔ ¬(y ≤ x)

⊢ ∀x y. x ≤ y ⇔ ¬(y < x)

⊢ 0 = real_0 ∧ ∀n. &SUC n = &n + real_1

⊢ ∀x y. x − y = x + -y

⊢ (∀n f. sum (n,0) f = 0) ∧
  ∀n m f. sum (n,SUC m) f = sum (n,m) f + f (n + m)

⊢ (∀n f. sum (n,0) f = 0) ∧
  (∀n m f.
     sum (n,NUMERAL (BIT1 m)) f =
     sum (n,NUMERAL (BIT1 m) − 1) f + f (n + (NUMERAL (BIT1 m) − 1))) ∧
  ∀n m f.
    sum (n,NUMERAL (BIT2 m)) f =
    sum (n,NUMERAL (BIT1 m)) f + f (n + NUMERAL (BIT1 m))

⊢ ∀P. (∀n f. P (n,0) f) ∧ (∀n m f. P (n,m) f ⇒ P (n,SUC m) f) ⇒
      ∀v v1 v2. P (v,v1) v2