Theory complex

⊢ ∀z. IM z = SND z

⊢ ∀z. RE z = FST z

⊢ ∀z. arg z =
      if 0 ≤ IM z then acs (RE z / modu z)
      else -acs (RE z / modu z) + 2 * pi

⊢ ∀z w. z + w = (RE z + RE w,IM z + IM w)

⊢ ∀z w. z / w = z * inv w

⊢ ∀z. exp z = exp (RE z) * (cos (IM z),sin (IM z))

⊢ ∀z. inv z = (RE z / ((RE z)² + (IM z)²),-IM z / ((RE z)² + (IM z)²))

⊢ ∀z w. z * w = (RE z * RE w − IM z * IM w,RE z * IM w + IM z * RE w)

⊢ ∀z. -z = (-RE z,-IM z)

⊢ ∀n. &n = complex_of_real (&n)

⊢ ∀x. complex_of_real x = (x,0)

⊢ (∀z. z pow 0 = 1) ∧ ∀z n. z pow SUC n = z * z pow n

⊢ ∀k z. k * z = (k * RE z,k * IM z)

⊢ ∀z k. z * k = (RE z * k,IM z * k)

⊢ ∀z w. z − w = z + -w

⊢ ∀z. conj z = (RE z,-IM z)

⊢ i = (0,1)

⊢ ∀z. modu z = sqrt ((RE z)² + (IM z)²)

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (cos (arg z) = RE z / modu z)

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (sin (arg z) = IM z / modu z)

⊢ ∀z. (RE z,IM z) = z

⊢ 0 = complex_of_real 0

⊢ ∀z. (z = 0) ⇔ ((RE z)² + (IM z)² = 0)

⊢ 1 = complex_of_real 1

⊢ 1 ≠ 0

⊢ ∀z w u v. z + w − (u + v) = z − u + (w − v)

⊢ ∀z w v. z + (w + v) = z + w + v

⊢ ∀z w. z + w = w + z

⊢ ∀z w v. z * (w + v) = z * w + z * v

⊢ ∀z. 0 + z = z

⊢ ∀z w. (z + w = w) ⇔ (z = 0)

⊢ ∀z. -z + z = 0

⊢ ∀z w u v. w ≠ 0 ∧ v ≠ 0 ⇒ (z / w + u / v = (z * v + w * u) / (w * v))

⊢ ∀z w v. (z + w) * v = z * v + w * v

⊢ ∀z. z + 0 = z

⊢ ∀z w. (z + w = z) ⇔ (w = 0)

⊢ ∀z. z + -z = 0

⊢ ∀k z w. (z + w) * k = z * k + w * k

⊢ ∀k z w. k * (z + w) = k * z + k * w

⊢ ∀z w. z + w − z = w

⊢ ∀z w. z − (z + w) = -w

⊢ ∀z w. (z + w) * (z − w) = z * z − w * w

⊢ ∀z. z / 1 = z

⊢ ∀z w v. z / v + w / v = (z + w) / v

⊢ ∀x y. (cos x,sin x) / (cos y,sin y) = (cos (x − y),sin (x − y))

⊢ ∀z w v. z ≠ 0 ⇒ (w / z / (v / z) = w / v)

⊢ ∀z w v. z ≠ 0 ⇒ (w / z * (z / v) = w / v)

⊢ ∀v z w. v ≠ 0 ⇒ (v * z / (v * w) = z / w)

⊢ ∀z. 0 / z = 0

⊢ ∀z w. z ≠ 0 ∧ w ≠ 0 ⇒ ∀v. v / w = z * v / (z * w)

⊢ ∀z w v. z ≠ 0 ⇒ (z / w * (v / z) = v / w)

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (z / z = 1)

⊢ ∀v z w. v ≠ 0 ⇒ (z * v / (w * v) = z / w)

⊢ ∀z w v. z / v − w / v = (z − w) / v

⊢ ∀z. z + z = 2 * z

⊢ ∀z w. (z * w = 0) ⇔ (z = 0) ∨ (w = 0)

⊢ ∀z w v. (z + w = z + v) ⇔ (w = v)

⊢ ∀z w v. v ≠ 0 ⇒ ((z / v = w) ⇔ (z = w * v))

⊢ ∀z w v. (z * w = z * v) ⇔ (z = 0) ∨ (w = v)

⊢ ∀z w v. z ≠ 0 ⇒ ((w = v) ⇔ (z * w = z * v))

⊢ ∀z w v. z ≠ 0 ∧ (z * w = z * v) ⇒ (w = v)

⊢ ∀z w. (-z = -w) ⇔ (z = w)

⊢ ∀z w v. (z + v = w + v) ⇔ (z = w)

⊢ ∀z w v. v ≠ 0 ⇒ ((z = w / v) ⇔ (z * v = w))

⊢ ∀z w v. (z * v = w * v) ⇔ (v = 0) ∨ (z = w)

⊢ ∀z w v. z ≠ 0 ∧ (w * z = v * z) ⇒ (w = v)

⊢ ∀k z w. (k * z = k * w) ⇔ (k = 0) ∨ (z = w)

⊢ ∀z w v. (z = w − v) ⇔ (z + v = w)

⊢ ∀z w v. (z − w = v) ⇔ (z = v + w)

⊢ exp 0 = 1

⊢ ∀z w. exp (z + w) = exp z * exp w

⊢ ∀z w. exp (z + w) * exp (-z) = exp w

⊢ ∀z n. exp (&n * z) = exp z pow n

⊢ ∀z n. exp (&n * z) = exp z pow n

⊢ ∀z. exp (-z) = inv (exp z)

⊢ ∀z. exp z * exp (-z) = 1

⊢ ∀z. exp (-z) * exp z = 1

⊢ ∀z. exp z ≠ 0

⊢ ∀z w. exp (z − w) = exp z / exp w

⊢ inv 1 = 1

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (inv (inv z) = z)

⊢ inv 0 = 0

⊢ ∀z. inv z = 1 / z

⊢ ∀x. inv (cos x,sin x) = (cos (-x),sin (-x))

⊢ ∀z. (inv z = 0) ⇔ (z = 0)

⊢ ∀z w. (inv z = inv w) ⇔ (z = w)

⊢ ∀z. inv (inv z) = z

⊢ ∀z w. z ≠ 0 ∧ w ≠ 0 ⇒ (inv (z * w) = inv z * inv w)

⊢ ∀z. inv (-z) = -inv z

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ inv z ≠ 0

⊢ ∀k z. k ≠ 0 ∧ z ≠ 0 ⇒ (inv (k * z) = k⁻¹ * inv z)

⊢ ∀a b c d. (a * c − b * d)² + (a * d + b * c)² = (a² + b²) * (c² + d²)

⊢ ∀x y. abs x ≤ sqrt (x² + y²)

⊢ ∀z w. (z * w = 1) ⇒ (z = inv w)

⊢ ∀k z w. k * z * w = k * (z * w)

⊢ ∀z w. (z + w = 0) ⇔ (z = -w)

⊢ ∀z w. (z = w) ⇔ (modu z = modu w) ∧ (arg z = arg w)

⊢ ∀x y. (cos x,sin x) * (cos y,sin y) = (cos (x + y),sin (x + y))

⊢ ∀z w v. z * (w * v) = z * w * v

⊢ ∀z w. z * w = w * z

⊢ ∀z. conj z * z = complex_of_real ((RE z)² + (IM z)²)

⊢ ∀z. conj z * z = complex_of_real (modu z)²

⊢ ∀z. 1 * z = z

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (inv z * z = 1)

⊢ ∀z w. -z * w = -(z * w)

⊢ ∀z. 0 * z = 0

⊢ ∀z. z * conj z = complex_of_real ((RE z)² + (IM z)²)

⊢ ∀z. z * conj z = complex_of_real (modu z)²

⊢ ∀z. z * 1 = z

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (z * inv z = 1)

⊢ ∀z w. z * -w = -(z * w)

⊢ ∀z. z * 0 = 0

⊢ ∀k l z w. k * z * (l * w) = k * l * (z * w)

⊢ ∀z. --z = z

⊢ -0 = 0

⊢ ∀z w. -(z + w) = -z + -w

⊢ ∀z w. -z / -w = z / w

⊢ ∀z w. (-z = w) ⇔ (z = -w)

⊢ ∀z. (-z = 0) ⇔ (z = 0)

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (inv (-z) = -inv z)

⊢ ∀z w. -(z / w) = -z / w

⊢ ∀z w. -(z * w) = -z * w

⊢ ∀z w. -z * -w = z * w

⊢ ∀z w. -(z / w) = z / -w

⊢ ∀z w. -(z * w) = z * -w

⊢ ∀k z. k * -z = -k * z

⊢ ∀k z. -z * k = z * -k

⊢ ∀z w. -(z − w) = w − z

⊢ ∀m n. &m + &n = &(m + n)

⊢ ∀m n. (&m = &n) ⇔ (m = n)

⊢ ∀m n. &m * &n = &(m * n)

⊢ ∀x y. complex_of_real x + complex_of_real y = complex_of_real (x + y)

⊢ ∀x y. complex_of_real x / complex_of_real y = complex_of_real (x / y)

⊢ ∀x y. (complex_of_real x = complex_of_real y) ⇔ (x = y)

⊢ ∀x. inv (complex_of_real x) = complex_of_real x⁻¹

⊢ ∀x y. complex_of_real x * complex_of_real y = complex_of_real (x * y)

⊢ ∀x. -complex_of_real x = complex_of_real (-x)

⊢ ∀x y. complex_of_real x − complex_of_real y = complex_of_real (x − y)

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ ∀n. inv (z pow n) = inv z pow n

⊢ ∀n. 0 pow SUC n = 0

⊢ ∀z. z pow 1 = z

⊢ ∀z. z pow 2 = z * z

⊢ ∀z m n. z pow (m + n) = z pow m * z pow n

⊢ ∀z w n. (z / w) pow n = z pow n / w pow n

⊢ ∀z n. inv z pow n = inv (z pow n)

⊢ ∀n k z. (k * z) pow n = k pow n * z pow n

⊢ ∀n z w. (z * w) pow n = z pow n * w pow n

⊢ ∀z n. z ≠ 0 ⇒ z pow n ≠ 0

⊢ ∀n. 1 pow n = 1

⊢ ∀z m n. (z pow m) pow n = z pow (m * n)

⊢ ∀n z. (z pow n = 0) ⇒ (z = 0)

⊢ ∀n z. (z pow SUC n = 0) ⇔ (z = 0)

⊢ ∀z w. (z = w) ⇔ (RE z = RE w) ∧ (IM z = IM w)

⊢ ∀z w. (z * w = 1) ⇒ (w = inv z)

⊢ ∀k z w. z * (k * w) = k * (z * w)

⊢ ∀z w. (z + w = 0) ⇔ (w = -z)

⊢ ∀k l z. z * (k − l) = z * k − z * l

⊢ ∀k l z. k * (l * z) = k * l * z

⊢ ∀k l z. (k + l) * z = k * z + l * z

⊢ ∀k l z w. l ≠ 0 ∧ w ≠ 0 ⇒ (k * z / (l * w) = k / l * (z / w))

⊢ ∀k z. (k * z = 0) ⇔ (k = 0) ∨ (z = 0)

⊢ ∀k l z. (k * z = l * z) ⇔ (k = l) ∨ (z = 0)

⊢ ∀k z. (k * z = z) ⇔ (k = 1) ∨ (z = 0)

⊢ ∀k z. -(k * z) = -k * z

⊢ ∀z. -1 * z = -z

⊢ ∀z. 1 * z = z

⊢ ∀k l z. (k − l) * z = k * z − l * z

⊢ ∀z. 0 * z = 0

⊢ ∀k z. k * z = z * k

⊢ ∀k l z. z * k * l = z * (k * l)

⊢ ∀k l z. z * (k + l) = z * k + z * l

⊢ ∀k z. -(z * k) = z * -k

⊢ ∀z. z * -1 = -z

⊢ ∀z. z * 1 = z

⊢ ∀z. z * 0 = 0

⊢ ∀z w. (z − w = 0) ⇔ (z = w)

⊢ ∀z w. z − w + w = z

⊢ ∀z w. w + (z − w) = z

⊢ ∀z w. z ≠ 0 ∧ w ≠ 0 ⇒ (inv z − inv w = (w − z) / (z * w))

⊢ ∀z w v. z * (w − v) = z * w − z * v

⊢ ∀z w. -z − w = -(z + w)

⊢ ∀z. 0 − z = -z

⊢ ∀z w. -z − -w = w − z

⊢ ∀z w u v. w ≠ 0 ∧ v ≠ 0 ⇒ (z / w − u / v = (z * v − w * u) / (w * v))

⊢ ∀z w v. (z − w) * v = z * v − w * v

⊢ ∀z. z − z = 0

⊢ ∀z w. z − -w = z + w

⊢ ∀z. z − 0 = z

⊢ ∀k z w. k * (z − w) = k * z − k * w

⊢ ∀k z w. (z − w) * k = z * k − w * k

⊢ ∀z w. z − w − z = -w

⊢ ∀z w. z − (z − w) = w

⊢ ∀z w v. z − w + (w − v) = z − v

⊢ ∀z. modu z * (cos (arg z),sin (arg z)) = z

⊢ ∀k. k * 0 = 0

⊢ ∀k. 0 * k = 0

⊢ ∀z w. conj (z + w) = conj z + conj w

⊢ ∀z. conj (conj z) = z

⊢ ∀z w. conj (z / w) = conj z / conj w

⊢ ∀z w. (conj z = w) ⇔ (z = conj w)

⊢ ∀z w. (conj z = conj w) ⇔ (z = w)

⊢ ∀z. conj (inv z) = inv (conj z)

⊢ ∀z w. conj (z * w) = conj z * conj w

⊢ ∀z. conj (-z) = -conj z

⊢ ∀n. conj (&n) = &n

⊢ ∀x. conj (complex_of_real x) = complex_of_real x

⊢ ∀k z. conj (k * z) = k * conj z

⊢ ∀z w. conj (z − w) = conj z − conj w

⊢ conj 0 = 0

⊢ ∀x n. (cos x,sin x) pow n = (cos (&n * x),sin (&n * x))

⊢ ∀z n.
    (modu z * (cos (arg z),sin (arg z))) pow n =
    modu z pow n * (cos (&n * arg z),sin (&n * arg z))

⊢ ∀z. modu z * exp (i * arg z) = z

⊢ ∀x. exp (i * x) = (cos x,sin x)

⊢ ∀x. IM (complex_of_real x) = 0

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒
      -(pi / 2) ≤ asn (IM z / modu z) ∧ asn (IM z / modu z) ≤ pi / 2

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (sin (asn (IM z / modu z)) = IM z / modu z)

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ -1 ≤ IM z / modu z ∧ IM z / modu z ≤ 1

⊢ ∀z. IM z = modu z * sin (arg z)

⊢ modu 0 = 0

⊢ modu 1 = 1

⊢ ∀z. (z = 0) ∨ 0 < modu z

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (modu (inv z) = (modu z)⁻¹)

⊢ ∀z n. modu (z pow n) = modu z pow n

⊢ ∀z. modu (conj z) = modu z

⊢ ∀z w. w ≠ 0 ⇒ (modu (z / w) = modu z / modu w)

⊢ ∀z w. modu (z * w) = modu z * modu w

⊢ ∀z. modu (-z) = modu z

⊢ ∀n. modu (&n) = &n

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇔ 0 < modu z

⊢ ∀z. 0 ≤ modu z

⊢ ∀z. (modu z)² = (RE z)² + (IM z)²

⊢ ∀x. modu (complex_of_real x) = abs x

⊢ ∀k z. modu (k * z) = abs k * modu z

⊢ ∀z w. modu (z − w) = modu (w − z)

⊢ ∀x y. modu (cos x,sin x) = 1

⊢ ∀z. (z = 0) ⇔ (modu z = 0)

⊢ ∀x. RE (complex_of_real x) = x

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ 0 ≤ acs (RE z / modu z) ∧ acs (RE z / modu z) ≤ pi

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ (cos (acs (RE z / modu z)) = RE z / modu z)

⊢ ∀z. z ≠ 0 ⇒ -1 ≤ RE z / modu z ∧ RE z / modu z ≤ 1

⊢ ∀z. abs (RE z) ≤ modu z ∧ abs (IM z) ≤ modu z

⊢ ∀z. RE z = modu z * cos (arg z)

⊢ (∀z. z pow 0 = 1) ∧
  (∀z n. z pow NUMERAL (BIT1 n) = z * z pow (NUMERAL (BIT1 n) − 1)) ∧
  ∀z n. z pow NUMERAL (BIT2 n) = z * z pow NUMERAL (BIT1 n)