Theory relation

⊢ ∀R. CR R ⇔ diamond R꙳

⊢ ∀x y. ∅ᵣ x y ⇔ F

⊢ ∀R. R^= = RC (SC R)⁺

⊢ ∀f. IDEM f ⇔ f ∘ f = f

⊢ ∀R P M.
    INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇔ ∀f x. (∀y. R y x ⇒ P y (f y)) ⇒ P x (M f x)

⊢ ∀R D P M.
    INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ⇔
    ∀f x. D x ∧ (∀y. D y ⇒ R y x ⇒ P y (f y)) ⇒ P x (M f x)

⊢ ∀f. INVOL f ⇔ f ∘ f = I

⊢ ∀R. LinearOrder R ⇔ Order R ∧ trichotomous R

⊢ ∀R1 R2 x z. (R1 ∘ᵣ R2) x z ⇔ ∃y. R2 x y ∧ R1 y z

⊢ ∀Z. Order Z ⇔ antisymmetric Z ∧ transitive Z

⊢ ∀R. PreOrder R ⇔ reflexive R ∧ transitive R

⊢ ∀R x y. RCOMPL R x y ⇔ ¬R x y

⊢ ∀R x y. RC R x y ⇔ x = y ∨ R x y

⊢ ∀R x. RDOM R x ⇔ ∃y. R x y

⊢ ∀R x u v. (R \\ x) u v ⇔ R u v ∧ u ≠ x

⊢ ∀f R x. RESTRICT f R x = RESTRICTION (λy. R y x) f

⊢ ∀R a b. RINSERT R a b = (λx y. R x y ∨ x = a ∧ y = b)

⊢ ∀R1 R2 x y. (R1 ∩ᵣ R2) x y ⇔ R1 x y ∧ R2 x y

⊢ ∀R y. RRANGE R y ⇔ ∃x. R x y

⊢ ∀R s x y. RRESTRICT R s x y ⇔ R x y ∧ x ∈ s

⊢ ∀R1 R2. R1 ⊆ᵣ R2 ⇔ ∀x y. R1 x y ⇒ R2 x y

⊢ ∀R1 R2 x y. (R1 ∪ᵣ R2) x y ⇔ R1 x y ∨ R2 x y

⊢ ∀x y. 𝕌ᵣ x y ⇔ T

⊢ ∀R x y. SC R x y ⇔ R x y ∨ R y x

⊢ ∀R. SN R ⇔ WF Rᵀ

⊢ ∀R a b. STRORD R a b ⇔ R a b ∧ a ≠ b

⊢ ∀R. StrongLinearOrder R ⇔ StrongOrder R ∧ trichotomous R

⊢ ∀Z. StrongOrder Z ⇔ irreflexive Z ∧ transitive Z

⊢ ∀R a b.
    R⁺ a b ⇔
    ∀P. (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒ P a b

⊢ ∀R. WCR R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. R꙳ y u ∧ R꙳ z u

⊢ ∀R a. WFP R a ⇔ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ P a

⊢ ∀R M.
    WFREC R M =
    (λx. M (RESTRICT (the_fun R⁺ (λf v. M (RESTRICT f R v) v) x) R x) x)

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀B. (∃w. B w) ⇒ ∃min. B min ∧ ∀b. R b min ⇒ ¬B b

⊢ ∀R. WeakLinearOrder R ⇔ WeakOrder R ∧ trichotomous R

⊢ ∀Z. WeakOrder Z ⇔ reflexive Z ∧ antisymmetric Z ∧ transitive Z

⊢ ∀R. antisymmetric R ⇔ ∀x y. R x y ∧ R y x ⇒ x = y

⊢ ∀R M x f. approx R M x f ⇔ f = RESTRICT (λy. M (RESTRICT f R y) y) R x

⊢ ∀A x y. diag A x y ⇔ x = y ∧ x ∈ A

⊢ ∀R. diamond R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. R y u ∧ R z u

⊢ ∀R. equivalence R ⇔ reflexive R ∧ symmetric R ∧ transitive R

⊢ ∀R x y. Rᵀ x y ⇔ R y x

⊢ ∀R f. inv_image R f = (λx y. R (f x) (f y))

⊢ ∀R. irreflexive R ⇔ ∀x. ¬R x x

⊢ ∀R x. nf R x ⇔ ∀y. ¬R x y

⊢ ∀R. rcdiamond R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. RC R y u ∧ RC R z u

⊢ ∀R. reflexive R ⇔ ∀x. R x x

⊢ ∀R. symmetric R ⇔ ∀x y. R x y ⇔ R y x

⊢ ∀R M x. the_fun R M x = @f. approx R M x f

⊢ ∀R. total R ⇔ ∀x y. R x y ∨ R y x

⊢ ∀R. transitive R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R y z ⇒ R x z

⊢ ∀R. trichotomous R ⇔ ∀a b. R a b ∨ R b a ∨ a = b

⊢ ∀R. equivalence R ⇔ ∀x y. R x y ⇔ R x = R y

⊢ ∀R. equivalence R^=

⊢ ∀R. R^= ^= = R^=

⊢ ∀R P.
    (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x. P x x) ∧ (∀x y. P x y ⇒ P y x) ∧
    (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀x y. R^= x y ⇒ P x y

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R' x y) ⇒ R^= x y ⇒ R'^= x y

⊢ ∀R. (RC R)^= = R^= ∧ (SC R)^= = R^= ∧ R⁺ ^= = R^=

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R^= x y

⊢ ∀R x. R^= x x

⊢ ∀R x y. R^= x y ⇒ R^= y x

⊢ ∀R x y z. R^= x y ∧ R^= y z ⇒ R^= x z

⊢ ∀R x y z. R x y ∧ R꙳ y z ⇒ R⁺ x z

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇔ ∃y. R x y ∧ R꙳ y z

⊢ ∀R x y z. R꙳ x y ∧ R y z ⇒ R⁺ x z

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇔ ∃y. R꙳ x y ∧ R y z

⊢ ∀y z. y = z ⇔ y ⊆ᵣ z ∧ z ⊆ᵣ y

⊢ ∀f. IDEM f ⇔ ∀x. f (f x) = f x

⊢ IDEM RC

⊢ IDEM RTC

⊢ IDEM SC

⊢ IDEM STRORD

⊢ IDEM TC

⊢ ∀R. (∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x) ⇒ WF R

⊢ ∀R P M D x.
    WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ∧ D x ⇒ P x (WFREC R M x)

⊢ ∀R P M. WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇒ ∀x. P x (WFREC R M x)

⊢ ∀f. INVOL f ⇔ ∀x. f (f x) = x

⊢ ∀f. INVOL f ⇒ ∀a b. f a = b ⇔ a = f b

⊢ ∀f. INVOL f ⇒ ∀a b. f a = f b ⇔ a = b

⊢ x ∈ RDOM R ⇔ ∃y. R x y

⊢ x ∈ RDOM (R \\ k) ⇔ x ∈ RDOM R ∧ x ≠ k

⊢ x ∈ RDOM (RRESTRICT R s) ⇔ x ∈ RDOM R ∧ x ∈ s

⊢ x ∈ RDOM (R1 ∪ᵣ R2) ⇔ x ∈ RDOM R1 ∨ x ∈ RDOM R2

⊢ y ∈ RRANGE R ⇔ ∃x. R x y

⊢ $= ∘ᵣ R = R

⊢ INVOL $¬

⊢ ∀R. WCR R ∧ SN R ⇒ CR R

⊢ R1 ∘ᵣ R2 ∘ᵣ R3 = (R1 ∘ᵣ R2) ∘ᵣ R3

⊢ R ∘ᵣ $= = R

⊢ R1 ⊆ᵣ R2 ∧ S1 ⊆ᵣ S2 ⇒ R1 ∘ᵣ S1 ⊆ᵣ R2 ∘ᵣ S2

⊢ ∀R. RC (RC R) = RC R

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ RC R x y ⇒ RC Q x y

⊢ ∀R. SC (RC R) = RC (SC R) ∧ RC (RC R) = RC R ∧ (RC R)⁺ = RC R⁺

⊢ RC R = R ∪ᵣ $=

⊢ RC R x x

⊢ ∀R. reflexive (RC R)

⊢ ∀R x y. RC R x y ⇒ R꙳ x y

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ RC (STRORD R) = R

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ RC R x y

⊢ Order R ⇔ WeakOrder (RC R)

⊢ (∀x y. R x y ⇒ f x = f y) ⇒ ∀x y. RC R x y ⇒ f x = f y

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ RC R x y ⇒ P y

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. RC R x y ⇒ RC R (f x) (f y)

⊢ ∅ᵣ ⊆ᵣ R ∧ (R ⊆ᵣ ∅ᵣ ⇔ R = ∅ᵣ)

⊢ ∀f R x. RESTRICT f R x = (λy. if R y x then f y else ARB)

⊢ ∀f R y z. R y z ⇒ RESTRICT f R z y = f y

⊢ ∀R a b. RINSERT R a b a b

⊢ R1 ∩ᵣ (R2 ∩ᵣ R3) = R1 ∩ᵣ R2 ∩ᵣ R3

⊢ R1 ∩ᵣ R2 = R2 ∩ᵣ R1

⊢ ∀R1 R2. R1 ⊆ᵣ R2 ∧ R2 ⊆ᵣ R1 ⇒ R1 = R2

⊢ ∀R a b. R ⊆ᵣ RINSERT R a b

⊢ WeakOrder $RSUBSET

⊢ antisymmetric $RSUBSET

⊢ ∀R a b. R꙳ a b ⇔ ∀Q. Q b ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ Q a

⊢ ∀R Q b. Q b ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ ∀x. R꙳ x b ⇒ Q x

⊢ ∀R a b. R꙳ a b ⇔ ∀Q. Q a ∧ (∀y z. Q y ∧ R y z ⇒ Q z) ⇒ Q b

⊢ ∀R Q a. Q a ∧ (∀y z. Q y ∧ R y z ⇒ Q z) ⇒ ∀z. R꙳ a z ⇒ Q z

⊢ (∀x y. R1 x y ⇒ R2 x y) ∧ (∀x y. R2 x y ⇒ R1꙳ x y) ⇒ R2꙳ = R1꙳

⊢ ∀R x y. R꙳ x y ⇔ x = y ∨ ∃u. R x u ∧ R꙳ u y

⊢ ∀R x y. R꙳ x y ⇔ x = y ∨ ∃u. R꙳ x u ∧ R u y

⊢ ∀R x y. R꙳ x y ⇔ ∃u. R꙳ x u ∧ R꙳ u y

⊢ ∀R x y. R꙳ x y ⇔ x = y ∨ R⁺ x y

⊢ ∀x y. R꙳ x y ⇒ R^= x y

⊢ ∀R. R꙳ ꙳ = R꙳

⊢ ∀R P.
    (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒ ∀x y. R꙳ x y ⇒ P x y

⊢ ∀R P.
    (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒ ∀x y. R꙳ x y ⇒ P x y

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ R꙳ x y ⇒ Q꙳ x y

⊢ R꙳ x x

⊢ ∀R. reflexive R꙳

⊢ ∀R1 R2 x y. (R1 ∩ᵣ R2)꙳ x y ⇒ (R1꙳ ∩ᵣ R2꙳) x y

⊢ ∀R x y. R꙳ x y ⇒ ∀z. R꙳ y z ⇒ R꙳ x z

⊢ ∀R. (∀x. R꙳ x x) ∧ ∀x y z. R x y ∧ R꙳ y z ⇒ R꙳ x z

⊢ ∀R. (∀x. R꙳ x x) ∧ ∀x y z. R꙳ x y ∧ R y z ⇒ R꙳ x z

⊢ ∀R1 R2. (R1꙳ ∪ᵣ R2꙳)꙳ = (R1 ∪ᵣ R2)꙳

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R꙳ x y

⊢ ∀R P.
    (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ R꙳ y z ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀x y. R꙳ x y ⇒ P x y

⊢ ∀R P.
    (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R꙳ x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀x y. R꙳ x y ⇒ P x y

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R꙳ x y

⊢ ∀R x y. R꙳ x y ⇒ RC R x y ∨ R⁺ x y

⊢ R꙳ x y ∧ R꙳ y z ⇒ R꙳ x z

⊢ ∀R. transitive R꙳

⊢ ∀R a0 a1. R꙳ a0 a1 ⇔ a1 = a0 ∨ ∃y. R a0 y ∧ R꙳ y a1

⊢ ∀R RTC'.
    (∀x. RTC' x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ RTC' y z ⇒ RTC' x z) ⇒
    ∀a0 a1. R꙳ a0 a1 ⇒ RTC' a0 a1

⊢ (∀x y. R x y ⇒ f x = f y) ⇒ ∀x y. R꙳ x y ⇒ f x = f y

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ R꙳ x y ⇒ P y

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. R꙳ x y ⇒ R꙳ (f x) (f y)

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q (f x) (f y)) ∧ reflexive Q ∧ transitive Q ⇒
  ∀x y. R꙳ x y ⇒ Q (f x) (f y)

⊢ ∀R. (∀x. R꙳ x x) ∧ ∀x y z. R x y ∧ R꙳ y z ⇒ R꙳ x z

⊢ ∀R RTC'.
    (∀x. RTC' x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ R꙳ y z ∧ RTC' y z ⇒ RTC' x z) ⇒
    ∀a0 a1. R꙳ a0 a1 ⇒ RTC' a0 a1

⊢ R1 ∪ᵣ (R2 ∪ᵣ R3) = R1 ∪ᵣ R2 ∪ᵣ R3

⊢ R1 ∪ᵣ R2 = R2 ∪ᵣ R1

⊢ ∀R1 x y. R1꙳ x y ⇒ ∀R2. (R1 ∪ᵣ R2)꙳ x y

⊢ (𝕌ᵣ ⊆ᵣ R ⇔ R = 𝕌ᵣ) ∧ R ⊆ᵣ 𝕌ᵣ

⊢ ∀R. SC (SC R) = SC R

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ SC R x y ⇒ SC Q x y

⊢ ∀R. symmetric (SC R)

⊢ (∀x y. R x y ⇒ f x = f y) ⇒ ∀x y. SC R x y ⇒ f x = f y

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. SC R x y ⇒ SC R (f x) (f y)

⊢ ∀R P.
    (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x. P x x) ∧ (∀x y. R^= x y ∧ P x y ⇒ P y x) ∧
    (∀x y z. P x y ∧ P y z ∧ R^= x y ∧ R^= y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀x y. R^= x y ⇒ P x y

⊢ STRORD R = R ∩ᵣ RCOMPL $=

⊢ ∀R. StrongOrder R ⇒ STRORD (RC R) = R

⊢ ∀R. Order R ⇔ StrongOrder (STRORD R)

⊢ ∀R. StrongOrder R ⇒ Order R

⊢ R⁺ x z ⇔ R x z ∨ ∃y. R x y ∧ R⁺ y z

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇒ R x z ∨ ∃y. R x y ∧ R⁺ y z

⊢ R⁺ x z ⇔ R x z ∨ ∃y. R⁺ x y ∧ R y z

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇒ R x z ∨ ∃y. R⁺ x y ∧ R y z

⊢ ∀R. R⁺ ⁺ = R⁺

⊢ ∀R P.
    (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

⊢ ∀R Q. (∀x. R x b ⇒ Q x) ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ ∀a. R⁺ a b ⇒ Q a

⊢ ∀R Q. (∀y. R a y ⇒ Q y) ∧ (∀x y. Q x ∧ R x y ⇒ Q y) ⇒ ∀b. R⁺ a b ⇒ Q b

⊢ ∀R P.
    (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀x y. R⁺ x y ⇒ P x y

⊢ ∀R P.
    (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀x y. R⁺ x y ⇒ P x y

⊢ ∀x y z. R x y ∧ R⁺ y z ⇒ R⁺ x z

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ R⁺ x y ⇒ Q⁺ x y

⊢ ∀R. RC R⁺ = R꙳ ∧ (RC R)⁺ = R꙳

⊢ ∀x y z. R⁺ x y ∧ R y z ⇒ R⁺ x z

⊢ ∀R x y. R⁺ x y ⇒ R꙳ x y

⊢ ∀R. (∀x y. R x y ⇒ R⁺ x y) ∧ ∀x y z. R⁺ x y ∧ R⁺ y z ⇒ R⁺ x z

⊢ ∀R P.
    (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧
    (∀x y z. P x y ∧ P y z ∧ R⁺ x y ∧ R⁺ y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

⊢ ∀R P.
    (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ∧ R⁺ y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

⊢ ∀R P.
    (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R⁺ x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
    ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R⁺ x y

⊢ ∀R. transitive R⁺

⊢ ∀x y. R⁺ x y ∧ x ≠ y ⇒ ∃z. R x z ∧ x ≠ z

⊢ (∀x y. R x y ⇒ f x = f y) ⇒ ∀x y. R⁺ x y ⇒ f x = f y

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ R⁺ x y ⇒ P y

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. R⁺ x y ⇒ R⁺ (f x) (f y)

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q (f x) (f y)) ∧ transitive Q ⇒
  ∀x y. R⁺ x y ⇒ Q (f x) (f y)

⊢ ∀f R D P M x.
    f = WFREC R M ∧ WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ∧ D x ⇒ P x (f x)

⊢ ∀f R P M x. f = WFREC R M ∧ WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇒ P x (f x)

⊢ ∀R x. WFP R x ⇔ ∀y. R y x ⇒ WFP R y

⊢ ∀R P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. WFP R x ⇒ P x

⊢ ∀R x. (∀y. R y x ⇒ WFP R y) ⇒ WFP R x

⊢ ∀R. (∀x. WFP R x ∧ (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. WFP R x ⇒ P x

⊢ ∀M R f. f = WFREC R M ⇒ WF R ⇒ ∀x. f x = M (RESTRICT f R x) x

⊢ ∀R M. WF R ⇒ ∀x. WFREC R M x = M (RESTRICT (WFREC R M) R x) x

⊢ WF ∅ᵣ

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀x. WFP R x

⊢ ∀R. WF R ⇒ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x

⊢ ∀R x y. WF R ⇒ R x y ⇒ x ≠ y

⊢ ∀P f R g R'.
    (∀x. P (f x) ⇒ WF (R (f x))) ∧
    (∀x y. R' x y ⇒ P (f x) ∧ f x = f y ∧ R (f x) (g x) (g y)) ⇒
    WF R'

⊢ ∀R. WF R ⇒ ∀M. ∃!f. ∀x. f x = M (RESTRICT f R x) x

⊢ ∀R P. WF R ∧ (∀x y. P x y ⇒ R x y) ⇒ WF P

⊢ ∀R. WF R ⇒ WF R⁺

⊢ WF R⁺ ⇔ WF R

⊢ WF R ⇒ antisymmetric R

⊢ ∀R f. WF R ⇒ WF (inv_image R f)

⊢ WF R ⇒ irreflexive R

⊢ WF R ⇒ R⁺ x y ⇒ x ≠ y

⊢ ∀R. WeakLinearOrder R ⇔ WeakOrder R ∧ ∀a b. R a b ∨ R b a

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ Order R

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ ∀y z. y = z ⇔ R y z ∧ R z y

⊢ ∀R. antisymmetric (RC R) ⇔ antisymmetric R

⊢ (antisymmetric R1 ⇒ antisymmetric (R1 ∩ᵣ R2)) ∧
  (antisymmetric R2 ⇒ antisymmetric (R1 ∩ᵣ R2))

⊢ ∀R. antisymmetric Rᵀ ⇔ antisymmetric R

⊢ ∀R. diamond R ⇒ diamond (RC R)

⊢ ∀R. diamond R ⇒ diamond R⁺

⊢ ∀R. equivalence R ⇒ Rᵀ = R

⊢ ∀R. (rcdiamond R ⇒ CR R) ∧ (diamond R ⇒ CR R)

⊢ ∀R. R^= ᵀ = R^= ∧ Rᵀ ^= = R^=

⊢ INVOL relinv

⊢ $= ᵀ = $=

⊢ ∀R. Rᵀ ᵀ = R ∧ SC Rᵀ = SC R ∧ RC Rᵀ = (RC R)ᵀ ∧ Rᵀ ⁺ = R⁺ ᵀ ∧
      Rᵀ ꙳ = R꙳ ᵀ ∧ Rᵀ ^= = R^=

⊢ ∀R R'. (R ∘ᵣ R')ᵀ = R'ᵀ ∘ᵣ Rᵀ

⊢ ∀R. (RC R)ᵀ = RC Rᵀ

⊢ ∀R. (SC R)ᵀ = SC R ∧ SC Rᵀ = SC R

⊢ ∀R. R⁺ ᵀ = Rᵀ ⁺

⊢ (diag A)ᵀ = diag A

⊢ ∀R f x y. inv_image R f x y ⇔ R (f x) (f y)

⊢ ∀R. Rᵀ ᵀ = R

⊢ ∀R. irreflexive R ∧ transitive R ⇒ antisymmetric R

⊢ ∀R1 R2. irreflexive R2 ∧ R1 ⊆ᵣ R2 ⇒ irreflexive R1

⊢ ∀R. irreflexive Rᵀ ⇔ irreflexive R

⊢ ∀R. rcdiamond R ⇔ diamond (RC R)

⊢ reflexive R^=

⊢ ∀R. reflexive R ⇔ $= ⊆ᵣ R

⊢ ∀R. reflexive (RC R)

⊢ ∀R. reflexive R ⇒ RC R = R

⊢ ∀R. reflexive R꙳

⊢ ∀R. reflexive R ⇒ reflexive R⁺

⊢ ∀R. reflexive Rᵀ ⇔ reflexive R

⊢ ∀R f. reflexive R ⇒ reflexive (inv_image R f)

⊢ symmetric R^=

⊢ ∀R. symmetric (RC R) ⇔ symmetric R

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ SC R = R

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ symmetric R⁺

⊢ ∀R. symmetric Rᵀ ⇔ symmetric R

⊢ symmetric R ⇔ Rᵀ ⊆ᵣ R

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ Rᵀ = R

⊢ ∀R f. symmetric R ⇒ symmetric (inv_image R f)

⊢ ∀R f. total R ⇒ total (inv_image R f)

⊢ transitive R^=

⊢ transitive R ⇔ R ∘ᵣ R ⊆ᵣ R

⊢ ∀R. transitive R ⇒ transitive (RC R)

⊢ transitive R1 ∧ transitive R2 ⇒ transitive (R1 ∩ᵣ R2)

⊢ ∀R. transitive R꙳

⊢ ∀R. transitive R ⇒ R⁺ = R

⊢ ∀R. transitive Rᵀ ⇔ transitive R

⊢ ∀R f. transitive R ⇒ transitive (inv_image R f)

⊢ trichotomous (RC R) ⇔ trichotomous R

⊢ trichotomous (STRORD R) ⇔ trichotomous R